Номер 404, страница 165 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе IV. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 404, страница 165.

Условие.

404. При прохождении через защитную стенку атомного реактора нейтроны частично поглощаются ядрами материала стенки. Пусть $F(x)$ — поток нейтронов, прошедших через стенку толщиной $x$.

1) Составить дифференциальное уравнение для функции $F(x)$, если известно, что часть потока, поглощённая материалом стенки толщиной $\Delta x$, пропорциональна величине самого потока (коэффициент пропорциональности $\sigma_0$ называется постоянной поглощения нейтронов).

2) Найти решение полученного дифференциального уравнения.

3) Определить, какой должна быть толщина стенки, чтобы уменьшить поток в 2 раза.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Составить дифференциальное уравнение для функции F(x), если известно, что часть потока, поглощённая материалом стенки толщиной Δx, пропорциональна величине самого потока (коэффициент пропорциональности σ₀ называется постоянной поглощения нейтронов).

Пусть $F(x)$ — это поток нейтронов, прошедших через стенку толщиной $x$. Рассмотрим тонкий слой материала стенки толщиной $\Delta x$, находящийся на глубине $x$. Поток, входящий в этот слой, равен $F(x)$. Поток, выходящий из этого слоя (то есть прошедший толщину $x + \Delta x$), равен $F(x + \Delta x)$.

Уменьшение потока при прохождении этого слоя равно $F(x) - F(x + \Delta x)$. Эта величина и есть поглощённая часть потока. Согласно условию задачи, поглощённая часть потока пропорциональна величине потока $F(x)$, входящего в слой, и толщине слоя $\Delta x$. Коэффициент пропорциональности — $\sigma_0$.

Таким образом, мы можем записать математическое соотношение: $F(x) - F(x + \Delta x) = \sigma_0 \cdot F(x) \cdot \Delta x$

Перепишем это соотношение, вынеся знак минус: $-(F(x + \Delta x) - F(x)) = \sigma_0 \cdot F(x) \cdot \Delta x$

Разделим обе части на $\Delta x$: $-\frac{F(x + \Delta x) - F(x)}{\Delta x} = \sigma_0 \cdot F(x)$

Теперь совершим предельный переход, устремив толщину слоя $\Delta x$ к нулю. Выражение в левой части по определению производной стремится к $-F'(x)$: $\lim_{\Delta x \to 0} \left(-\frac{F(x + \Delta x) - F(x)}{\Delta x}\right) = -F'(x)$

В итоге мы получаем дифференциальное уравнение, описывающее изменение потока нейтронов в зависимости от толщины стенки: $-F'(x) = \sigma_0 F(x)$ или $F'(x) = -\sigma_0 F(x)$

Ответ: Дифференциальное уравнение для функции $F(x)$ имеет вид $F'(x) + \sigma_0 F(x) = 0$.

2) Найти решение полученного дифференциального уравнения.

Мы получили дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: $\frac{dF}{dx} = -\sigma_0 F$

Разделим переменные, сгруппировав все члены с $F$ в левой части, а с $x$ — в правой: $\frac{dF}{F} = -\sigma_0 dx$

Проинтегрируем обе части полученного уравнения: $\int \frac{dF}{F} = \int -\sigma_0 dx$

Вычисляя интегралы, получаем: $\ln|F| = -\sigma_0 x + C_1$, где $C_1$ — произвольная постоянная интегрирования.

Поскольку поток $F(x)$ — это физическая величина (количество частиц), он не может быть отрицательным, следовательно $|F| = F$. $\ln F = -\sigma_0 x + C_1$

Чтобы выразить $F(x)$, выполним операцию потенцирования (возьмём экспоненту от обеих частей): $F(x) = e^{-\sigma_0 x + C_1} = e^{C_1} \cdot e^{-\sigma_0 x}$

Обозначим константу $e^{C_1}$ как $C$. Эта константа имеет ясный физический смысл: это значение потока при $x=0$, то есть начальный поток до входа в защитную стенку. Обозначим его как $F_0$. $F(0) = C \cdot e^{-\sigma_0 \cdot 0} = C \cdot 1 = C$, таким образом, $C = F_0$.

Итоговое решение дифференциального уравнения (закон ослабления потока): $F(x) = F_0 e^{-\sigma_0 x}$

Ответ: Решением дифференциального уравнения является функция $F(x) = F_0 e^{-\sigma_0 x}$, где $F_0$ — начальный поток нейтронов при $x=0$.

3) Определить, какой должна быть толщина стенки, чтобы уменьшить поток в 2 раза.

Нам необходимо найти такую толщину стенки $x$, при которой прошедший поток $F(x)$ будет в два раза меньше начального потока $F_0$. Математически это условие записывается следующим образом: $F(x) = \frac{F_0}{2}$

Воспользуемся решением, полученным в пункте 2, и подставим его в это уравнение: $F_0 e^{-\sigma_0 x} = \frac{F_0}{2}$

Сократим обе части уравнения на $F_0$ (так как начальный поток не равен нулю): $e^{-\sigma_0 x} = \frac{1}{2}$

Для нахождения $x$ необходимо взять натуральный логарифм от обеих частей уравнения: $\ln(e^{-\sigma_0 x}) = \ln\left(\frac{1}{2}\right)$

Применяя свойства логарифмов ($\ln(e^a) = a$ и $\ln(1/b) = \ln(1) - \ln(b) = -\ln(b)$), получаем: $-\sigma_0 x = -\ln(2)$

Домножим обе части на $-1$: $\sigma_0 x = \ln(2)$

Наконец, выразим искомую толщину $x$: $x = \frac{\ln(2)}{\sigma_0}$

Ответ: Чтобы уменьшить поток в 2 раза, толщина стенки должна быть равна $x = \frac{\ln(2)}{\sigma_0}$.