Номер 5, страница 165 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе IV. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 5, страница 165.

Условие.

5. Привести пример криволинейной трапеции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Криволинейная трапеция — это плоская фигура на координатной плоскости, ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y = f(x)$, осью абсцисс (прямой $y=0$) и двумя вертикальными прямыми $x = a$ и $x = b$.

В качестве конкретного примера рассмотрим фигуру, ограниченную следующими линиями:

• Верхняя граница: график функции $y = x^2 + 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх.
• Нижняя граница: ось абсцисс, то есть прямая $y = 0$.
• Левая граница: вертикальная прямая $x = 1$.
• Правая граница: вертикальная прямая $x = 2$.

Эта фигура является криволинейной трапецией, потому что функция $f(x) = x^2 + 1$ непрерывна и неотрицательна (на самом деле, строго положительна) на отрезке $[1, 2]$. Фигура имеет три прямолинейные стороны (основание на оси Ox и две боковые стороны) и одну криволинейную сторону (график параболы).

Площадь такой фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла:

$S = \int_1^2 (x^2 + 1) \, dx = \left( \frac{x^3}{3} + x \right) \bigg|_1^2 = \left( \frac{2^3}{3} + 2 \right) - \left( \frac{1^3}{3} + 1 \right) = \left( \frac{8}{3} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 \right) = \frac{14}{3} - \frac{4}{3} = \frac{10}{3}$.

Ответ: Примером криволинейной трапеции является фигура, ограниченная линиями $y = x^2+1$, $y=0$, $x=1$ и $x=2$.