Номер 403, страница 165 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе IV. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 403, страница 165.

Условие.

403. В цилиндрическом сосуде с подвижным поршнем находится газ, который медленно расширяется (в результате теплообмена температура газа $T$ остаётся постоянной). Найти работу силы давления газа при его расширении от объёма $V_1$ до объёма $V_2$, если в сосуде находится $v$ молей газа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Работа, совершаемая газом при изменении его объема от начального значения $V_1$ до конечного $V_2$, в общем случае вычисляется как интеграл от давления по объему: $$A = \int_{V_1}^{V_2} p \, dV$$

В задаче указано, что процесс расширения газа происходит медленно и его температура $T$ остается постоянной. Такой процесс называется изотермическим. Для идеального газа, состояние которого описывается уравнением Менделеева-Клапейрона, связь между давлением, объемом и температурой выражается формулой: $$pV = \nu RT$$ где $p$ – давление, $V$ – объем, $\nu$ – количество вещества газа в молях, $R$ – универсальная газовая постоянная, а $T$ – абсолютная температура.

Поскольку в ходе процесса расширения объем газа меняется, давление также не является постоянной величиной. Выразим давление $p$ из уравнения состояния идеального газа как функцию объема $V$: $$p(V) = \frac{\nu RT}{V}$$

Теперь подставим это выражение для давления в формулу для работы: $$A = \int_{V_1}^{V_2} \frac{\nu RT}{V} \, dV$$

Величины $\nu$, $R$ и $T$ в данном изотермическом процессе являются константами, поэтому их можно вынести за знак интеграла: $$A = \nu RT \int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V}$$

Интеграл от функции $\frac{1}{V}$ равен натуральному логарифму $\ln(V)$. Вычислим определенный интеграл: $$\int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V} = [\ln(V)]_{V_1}^{V_2} = \ln(V_2) - \ln(V_1)$$

Используя свойство логарифмов ($\ln(a) - \ln(b) = \ln(a/b)$), получаем: $$\ln(V_2) - \ln(V_1) = \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$$

Таким образом, окончательная формула для работы газа при изотермическом расширении имеет вид: $$A = \nu RT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$$ Поскольку газ расширяется, $V_2 > V_1$, следовательно, $\frac{V_2}{V_1} > 1$ и $\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) > 0$, что означает, что работа газа положительна, как и должно быть при расширении.

Ответ: $A = \nu RT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$