Номер 2, страница 165 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе IV. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 2, страница 165.

Условие.

2. Как задать все первообразные функции $y = f(x)$, если $F(x)$ — одна из них?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $y=f(x)$ на заданном промежутке, если для всех значений $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

Основное свойство первообразных (которое иногда называют теоремой о совокупности первообразных) утверждает, что если $F(x)$ — одна из первообразных для функции $f(x)$, то любая другая первообразная для $f(x)$ на том же промежутке имеет вид $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Это можно доказать. Пусть $G(x)$ — еще одна первообразная для функции $f(x)$. Тогда по определению $G'(x) = f(x)$. Нам также известно, что $F'(x) = f(x)$.

Рассмотрим производную разности функций $G(x)$ и $F(x)$:
$(G(x) - F(x))' = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0$.

Из следствия теоремы Лагранжа известно, что если производная некоторой функции на промежутке равна нулю, то эта функция является постоянной (константой) на этом промежутке. Следовательно, существует такое число $C$, что для всех $x$ из рассматриваемого промежутка выполняется равенство:
$G(x) - F(x) = C$.

Отсюда получаем, что любая первообразная $G(x)$ может быть представлена в виде $G(x) = F(x) + C$.

Таким образом, чтобы задать все первообразные функции $y=f(x)$, достаточно найти одну любую первообразную $F(x)$ и прибавить к ней произвольную постоянную $C$. Это выражение $F(x) + C$ описывает всё семейство первообразных для функции $f(x)$.

Ответ: Все первообразные функции $y=f(x)$ задаются формулой $F(x) + C$, где $F(x)$ — одна из первообразных, а $C$ — произвольная постоянная ($C \in \mathbb{R}$).