Номер 1, страница 165 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе IV. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 1, страница 165.

Условие.

1. Что называется первообразной для функции $y=f(x)$ на некотором интервале?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1. Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке (интервале) $I$, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство:

$F'(x) = f(x)$

Иными словами, первообразная — это такая функция, производная которой равна исходной функции. Нахождение первообразной является операцией, обратной дифференцированию, и называется интегрированием.

Например, для функции $f(x) = x^2$ одной из первообразных будет функция $F(x) = \frac{x^3}{3}$, так как ее производная равна исходной функции:

$F'(x) = \left(\frac{x^3}{3}\right)' = \frac{1}{3} \cdot (x^3)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2 = f(x)$

Важно отметить, что если $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, то и любая функция вида $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная (константа), также будет первообразной для $f(x)$. Это следует из того, что производная любой константы равна нулю:

$(F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)$

Таким образом, выражение $F(x) + C$ описывает множество всех первообразных для функции $f(x)$ на данном интервале.

Ответ: Первообразной для функции $y=f(x)$ на некотором интервале называется такая функция $F(x)$, производная которой для всех $x$ из этого интервала равна $f(x)$, то есть выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.