Номер 402, страница 164 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе IV. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 402, страница 164.

Условие.

402. Какую работу нужно совершить, чтобы поднять тело массой $m$ с поверхности Земли (её радиус $R$) на высоту $h$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Работа, которую необходимо совершить, чтобы поднять тело без сообщения ему кинетической энергии, равна изменению его потенциальной энергии в гравитационном поле Земли.

Работа $A$ равна разности потенциальных энергий тела на конечной высоте $h$ и на поверхности Земли:$A = E_{p2} - E_{p1}$

Потенциальная энергия $E_p$ тела массы $m$ в гравитационном поле Земли (масса $M$, радиус $R$) на расстоянии $r$ от её центра определяется формулой:$E_p(r) = -G \frac{Mm}{r}$где $G$ — гравитационная постоянная.

Начальное состояние тела — на поверхности Земли. Расстояние от центра Земли равно её радиусу $R$. Начальная потенциальная энергия:$E_{p1} = -G \frac{Mm}{R}$

Конечное состояние тела — на высоте $h$ от поверхности. Расстояние от центра Земли равно $R+h$. Конечная потенциальная энергия:$E_{p2} = -G \frac{Mm}{R+h}$

Теперь найдем работу как разность этих энергий:$A = E_{p2} - E_{p1} = \left(-G \frac{Mm}{R+h}\right) - \left(-G \frac{Mm}{R}\right) = G \frac{Mm}{R} - G \frac{Mm}{R+h}$

Вынесем общий множитель $GMm$ за скобки и приведем дроби к общему знаменателю:$A = GMm \left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R+h}\right) = GMm \left(\frac{(R+h) - R}{R(R+h)}\right) = GMm \frac{h}{R(R+h)}$

Эту формулу можно выразить через ускорение свободного падения на поверхности Земли $g$. По определению, сила тяжести на поверхности $mg = G \frac{Mm}{R^2}$, откуда получаем $GM = gR^2$.

Подставим это выражение в формулу для работы:$A = (gR^2)m \frac{h}{R(R+h)} = \frac{mgR^2h}{R(R+h)} = \frac{mgRh}{R+h}$

Заметим, что если высота подъема $h$ много меньше радиуса Земли ($h \ll R$), то знаменатель $R+h \approx R$, и формула упрощается до хорошо известной $A \approx \frac{mgRh}{R} = mgh$. Однако в общем случае необходимо использовать полную формулу.

Ответ: $A = \frac{mgRh}{R+h}$