Номер 4, страница 165 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе IV. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 4, страница 165.

Условие.

4. Перечислить правила нахождения первообразных.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Нахождение первообразной (или неопределенного интеграла) — это операция, обратная дифференцированию. Она подчиняется нескольким основным правилам, которые позволяют находить первообразные для комбинаций функций.

• Правило суммы и разности

  Первообразная для суммы (или разности) двух функций равна сумме (или разности) их первообразных. Если $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$, а $G(x)$ — первообразная для функции $g(x)$, то для нахождения первообразной их суммы (или разности) достаточно сложить (или вычесть) их первообразные. К общему результату всегда добавляется произвольная постоянная $C$, называемая константой интегрирования.

  Ответ: Первообразная для функции $f(x) \pm g(x)$ равна $F(x) \pm G(x) + C$.

• Правило постоянного множителя

  Постоянный множитель (константу) можно выносить за знак первообразной. Если $F(x)$ — это первообразная для функции $f(x)$, а $k$ — это некоторое постоянное число, то для нахождения первообразной функции $k \cdot f(x)$ нужно просто умножить первообразную $F(x)$ на эту константу $k$.

  Ответ: Первообразная для функции $k \cdot f(x)$ равна $k \cdot F(x) + C$.

• Правило для сложной функции с линейным аргументом

  Это правило является следствием цепного правила дифференцирования и применяется для функций вида $f(kx+b)$. Если $F(x)$ — это первообразная для функции $f(x)$, то для нахождения первообразной от функции $f(kx+b)$, где $k$ и $b$ — постоянные числа и $k \neq 0$, нужно взять первообразную $F$ от всего аргумента $kx+b$ и умножить результат на коэффициент $\frac{1}{k}$.

  Ответ: Первообразная для функции $f(kx+b)$ равна $\frac{1}{k}F(kx+b) + C$.