Номер 10, страница 165 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе IV. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 10, страница 165.

Условие.

10. Как с помощью интеграла найти путь по заданной скорости, вычислить работу переменной силы?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Как с помощью интеграла найти путь по заданной скорости

Путь, пройденный телом, — это одна из физических величин, которую можно вычислить с помощью определенного интеграла, если известна зависимость скорости тела от времени.

В простом случае, когда тело движется с постоянной скоростью $v$, путь $S$, пройденный за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$, вычисляется по формуле: $S = v \cdot (t_2 - t_1)$.

Однако чаще всего скорость тела не является постоянной, а изменяется со временем. В этом случае скорость является функцией времени $v(t)$. Чтобы найти путь, пройденный телом за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$, применяется метод интегрирования.

Основная идея заключается в том, чтобы разбить весь временной интервал $[t_1, t_2]$ на очень большое количество малых подынтервалов $\Delta t$. В течение каждого такого малого промежутка времени скорость можно считать практически постоянной. Тогда элементарный путь $\Delta S$, пройденный за время $\Delta t$, будет приблизительно равен $\Delta S \approx v(t) \cdot \Delta t$.

Чтобы найти полный путь $S$, необходимо просуммировать все эти элементарные пути. В математике такая сумма в пределе, когда длительность подынтервалов стремится к нулю ($\Delta t \to 0$), называется определенным интегралом.

При этом важно различать понятия «путь» и «перемещение». Перемещение — это разница между конечной и начальной координатами, и оно вычисляется как $\Delta s = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$. Путь — это длина всей траектории. Если скорость может менять знак (тело движется вперед, а затем назад), для нахождения пути необходимо интегрировать модуль скорости.

Таким образом, формула для вычисления пути, пройденного телом за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$: $S = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)| dt$

Если движение происходит всё время в одном направлении, то есть $v(t) \ge 0$ на всем интервале $[t_1, t_2]$, то модуль можно опустить, и формула упрощается: $S = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$

Ответ: Путь $S$, пройденный телом за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$ при движении со скоростью, зависящей от времени $v(t)$, вычисляется по формуле определенного интеграла от модуля скорости: $S = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)| dt$.

---

Как с помощью интеграла вычислить работу переменной силы

Работа в физике также может быть вычислена с помощью определенного интеграла, особенно когда сила, действующая на тело, не является постоянной.

Если на тело действует постоянная сила $F$ и тело перемещается на расстояние $x$ в направлении действия силы, то совершенная работа $A$ вычисляется как $A = F \cdot x$.

Рассмотрим более общий случай, когда сила $F$ изменяется по мере перемещения тела. То есть сила является функцией от положения (координаты) тела, $F = F(x)$. Классическим примером является сила упругости пружины, которая зависит от ее растяжения согласно закону Гука.

Чтобы найти работу, совершаемую такой переменной силой при перемещении тела из точки с координатой $x_a$ в точку с координатой $x_b$, мы используем тот же подход, что и при нахождении пути.

Разделим весь путь $[x_a, x_b]$ на большое количество малых отрезков $\Delta x$. На каждом таком малом отрезке силу $F(x)$ можно считать приблизительно постоянной. Тогда элементарная работа $\Delta A$, совершаемая на отрезке $\Delta x$, будет равна $\Delta A \approx F(x) \cdot \Delta x$.

Полная работа $A$ на всем пути от $x_a$ до $x_b$ будет суммой всех этих элементарных работ. Переходя к пределу, когда длина отрезков $\Delta x$ стремится к нулю, мы получаем определенный интеграл.

Таким образом, работа $A$, совершаемая переменной силой $F(x)$ при перемещении тела вдоль оси $x$ от точки $x_a$ до точки $x_b$, равна определенному интегралу от функции силы по перемещению.

Геометрически эта работа равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $F(x)$, осью абсцисс и прямыми $x=x_a$ и $x=x_b$.

Ответ: Работа $A$, совершаемая переменной силой $F(x)$ при перемещении тела вдоль оси от точки $x_a$ до точки $x_b$, вычисляется по формуле определенного интеграла: $A = \int_{x_a}^{x_b} F(x) dx$.