Страница 163 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

388. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному условию:

1) $y' = \sin x, y(0) = 0;$

2) $y' = 2\cos x, y(\pi) = 1;$

3) $y' = 3x^2 + 4x - 1, y(1) = -2;$

4) $y' = 2 + 2x - 3x^2, y(-1) = 2;$

5) $y' = e^x, y(1) = 1;$

6) $y' = e^{-x}, y(0) = 2.$

1) Дано дифференциальное уравнение $y' = \sin x$ с начальным условием $y(0) = 0$.
Чтобы найти функцию $y(x)$, необходимо найти первообразную для функции $y' = \sin x$, то есть проинтегрировать правую часть уравнения:
$y(x) = \int \sin x \,dx = -\cos x + C$, где $C$ – произвольная постоянная.
Это общее решение дифференциального уравнения. Для нахождения частного решения, удовлетворяющего начальному условию $y(0) = 0$, подставим значения $x=0$ и $y=0$ в общее решение:
$0 = -\cos(0) + C$
Так как $\cos(0) = 1$, получаем:
$0 = -1 + C$
$C = 1$
Подставляем найденное значение $C=1$ обратно в общее решение:
$y(x) = -\cos x + 1$.
Ответ: $y = 1 - \cos x$.

2) Дано дифференциальное уравнение $y' = 2\cos x$ с начальным условием $y(\pi) = 1$.
Находим общее решение путем интегрирования:
$y(x) = \int 2\cos x \,dx = 2\sin x + C$.
Используем начальное условие $y(\pi) = 1$. Подставляем $x=\pi$ и $y=1$ в общее решение:
$1 = 2\sin(\pi) + C$
Так как $\sin(\pi) = 0$, получаем:
$1 = 2 \cdot 0 + C$
$C = 1$
Подставляем $C=1$ в общее решение:
$y(x) = 2\sin x + 1$.
Ответ: $y = 2\sin x + 1$.

3) Дано дифференциальное уравнение $y' = 3x^2 + 4x - 1$ с начальным условием $y(1) = -2$.
Находим общее решение путем интегрирования:
$y(x) = \int (3x^2 + 4x - 1) \,dx = 3\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} - x + C = x^3 + 2x^2 - x + C$.
Используем начальное условие $y(1) = -2$. Подставляем $x=1$ и $y=-2$ в общее решение:
$-2 = 1^3 + 2(1)^2 - 1 + C$
$-2 = 1 + 2 - 1 + C$
$-2 = 2 + C$
$C = -4$
Подставляем $C=-4$ в общее решение:
$y(x) = x^3 + 2x^2 - x - 4$.
Ответ: $y = x^3 + 2x^2 - x - 4$.

4) Дано дифференциальное уравнение $y' = 2 + 2x - 3x^2$ с начальным условием $y(-1) = 2$.
Интегрируем, чтобы найти общее решение:
$y(x) = \int (2 + 2x - 3x^2) \,dx = 2x + 2\frac{x^2}{2} - 3\frac{x^3}{3} + C = 2x + x^2 - x^3 + C$.
Используем начальное условие $y(-1) = 2$. Подставляем $x=-1$ и $y=2$ в общее решение:
$2 = 2(-1) + (-1)^2 - (-1)^3 + C$
$2 = -2 + 1 - (-1) + C$
$2 = -2 + 1 + 1 + C$
$2 = 0 + C$
$C = 2$
Подставляем $C=2$ в общее решение:
$y(x) = -x^3 + x^2 + 2x + 2$.
Ответ: $y = -x^3 + x^2 + 2x + 2$.

5) Дано дифференциальное уравнение $y' = e^x$ с начальным условием $y(1) = 1$.
Находим общее решение путем интегрирования:
$y(x) = \int e^x \,dx = e^x + C$.
Используем начальное условие $y(1) = 1$. Подставляем $x=1$ и $y=1$ в общее решение:
$1 = e^1 + C$
$C = 1 - e$
Подставляем $C = 1 - e$ в общее решение:
$y(x) = e^x + 1 - e$.
Ответ: $y = e^x + 1 - e$.

6) Дано дифференциальное уравнение $y' = e^{-x}$ с начальным условием $y(0) = 2$.
Находим общее решение путем интегрирования:
$y(x) = \int e^{-x} \,dx = -e^{-x} + C$.
Используем начальное условие $y(0) = 2$. Подставляем $x=0$ и $y=2$ в общее решение:
$2 = -e^{-0} + C$
Так как $e^0 = 1$, получаем:
$2 = -1 + C$
$C = 3$
Подставляем $C=3$ в общее решение:
$y(x) = -e^{-x} + 3$.
Ответ: $y = 3 - e^{-x}$.

389. Показать, что функция $y=C_1 e^{\omega x} + C_2 e^{-\omega x}$ при любых значениях $C_1$ и $C_2$ является решением уравнения $y'' - \omega^2 y = 0$.

Чтобы показать, что функция $y = C_1 e^{\omega x} + C_2 e^{-\omega x}$ является решением уравнения $y'' - \omega^2 y = 0$ для любых констант $C_1$ и $C_2$, необходимо найти первую и вторую производные данной функции и подставить их в уравнение.

1. Нахождение первой производной $y'$
Дифференцируем функцию $y$ по переменной $x$, используя правила дифференцирования суммы и экспоненциальной функции:
$y' = \frac{d}{dx}(C_1 e^{\omega x} + C_2 e^{-\omega x}) = C_1 \frac{d}{dx}(e^{\omega x}) + C_2 \frac{d}{dx}(e^{-\omega x})$
$y' = C_1 (\omega e^{\omega x}) + C_2 (-\omega e^{-\omega x})$
$y' = C_1 \omega e^{\omega x} - C_2 \omega e^{-\omega x}$

2. Нахождение второй производной $y''$
Теперь дифференцируем первую производную $y'$ по $x$:
$y'' = \frac{d}{dx}(C_1 \omega e^{\omega x} - C_2 \omega e^{-\omega x}) = C_1 \omega \frac{d}{dx}(e^{\omega x}) - C_2 \omega \frac{d}{dx}(e^{-\omega x})$
$y'' = C_1 \omega (\omega e^{\omega x}) - C_2 \omega (-\omega e^{-\omega x})$
$y'' = C_1 \omega^2 e^{\omega x} + C_2 \omega^2 e^{-\omega x}$

3. Подстановка $y$ и $y''$ в дифференциальное уравнение
Подставляем выражения для $y$ и $y''$ в левую часть уравнения $y'' - \omega^2 y = 0$:
$y'' - \omega^2 y = (C_1 \omega^2 e^{\omega x} + C_2 \omega^2 e^{-\omega x}) - \omega^2 (C_1 e^{\omega x} + C_2 e^{-\omega x})$
Раскрываем скобки:
$C_1 \omega^2 e^{\omega x} + C_2 \omega^2 e^{-\omega x} - \omega^2 C_1 e^{\omega x} - \omega^2 C_2 e^{-\omega x}$
Группируем и сокращаем подобные члены:
$(C_1 \omega^2 e^{\omega x} - C_1 \omega^2 e^{\omega x}) + (C_2 \omega^2 e^{-\omega x} - C_2 \omega^2 e^{-\omega x}) = 0 + 0 = 0$
Поскольку левая часть уравнения равна правой ($0=0$), тождество выполняется для любых значений констант $C_1$ и $C_2$.

Ответ: Было показано, что функция $y = C_1 e^{\omega x} + C_2 e^{-\omega x}$ является решением дифференциального уравнения $y'' - \omega^2 y = 0$ при любых значениях $C_1$ и $C_2$.

390. Для функции $f(x)$ найти первообразную, график которой проходит через точку $M$, если:

1) $f(x) = \cos x$, $M(0; -2)$;

2) $f(x) = \sin x$, $M(-\pi; 0)$;

3) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$, $M(4; 5)$;

4) $f(x) = e^x$, $M(0; 2)$;

5) $f(x) = 3x^2 + 1$, $M(1; -2)$;

6) $f(x) = 2 - 2x$, $M(2; 3)$.

1) f(x) = cos x, M(0; -2)

Чтобы найти искомую первообразную, сначала найдем общий вид всех первообразных для данной функции $f(x)$, а затем, используя координаты точки $M$, найдем значение константы $C$.

Общий вид первообразной для $f(x) = \cos x$ находится путем интегрирования: $F(x) = \int \cos x \,dx = \sin x + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

По условию, график первообразной проходит через точку $M(0; -2)$. Это означает, что при $x = 0$, значение $F(x)$ равно $-2$. Подставим эти значения в выражение для $F(x)$:

$F(0) = \sin(0) + C = -2$

Так как $\sin(0) = 0$, получаем:

$0 + C = -2$, откуда $C = -2$.

Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = \sin x - 2$.

Ответ: $F(x) = \sin x - 2$

2) f(x) = sin x, M(-π; 0)

Общий вид первообразной для $f(x) = \sin x$ имеет вид: $F(x) = \int \sin x \,dx = -\cos x + C$.

График проходит через точку $M(-\pi; 0)$, следовательно $F(-\pi) = 0$. Подставляем значения:

$F(-\pi) = -\cos(-\pi) + C = 0$

Так как $\cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$, получаем:

$-(-1) + C = 0$

$1 + C = 0$, откуда $C = -1$.

Искомая первообразная: $F(x) = -\cos x - 1$.

Ответ: $F(x) = -\cos x - 1$

3) f(x) = 1/√x, M(4; 5)

Представим функцию в виде $f(x) = x^{-1/2}$. Общий вид первообразной находится по формуле для степенной функции: $F(x) = \int x^{-1/2} \,dx = \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + C = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{x} + C$.

График проходит через точку $M(4; 5)$, следовательно $F(4) = 5$. Подставляем значения:

$F(4) = 2\sqrt{4} + C = 5$

$2 \cdot 2 + C = 5$

$4 + C = 5$, откуда $C = 1$.

Искомая первообразная: $F(x) = 2\sqrt{x} + 1$.

Ответ: $F(x) = 2\sqrt{x} + 1$

4) f(x) = eˣ, M(0; 2)

Общий вид первообразной для экспоненциальной функции $f(x) = e^x$ имеет вид: $F(x) = \int e^x \,dx = e^x + C$.

График проходит через точку $M(0; 2)$, следовательно $F(0) = 2$. Подставляем значения:

$F(0) = e^0 + C = 2$

$1 + C = 2$, откуда $C = 1$.

Искомая первообразная: $F(x) = e^x + 1$.

Ответ: $F(x) = e^x + 1$

5) f(x) = 3x² + 1, M(1; -2)

Общий вид первообразной для $f(x) = 3x^2 + 1$ находим, интегрируя каждый член: $F(x) = \int (3x^2 + 1) \,dx = 3 \frac{x^3}{3} + x + C = x^3 + x + C$.

График проходит через точку $M(1; -2)$, следовательно $F(1) = -2$. Подставляем значения:

$F(1) = 1^3 + 1 + C = -2$

$1 + 1 + C = -2$

$2 + C = -2$, откуда $C = -4$.

Искомая первообразная: $F(x) = x^3 + x - 4$.

Ответ: $F(x) = x^3 + x - 4$

6) f(x) = 2 - 2x, M(2; 3)

Общий вид первообразной для $f(x) = 2 - 2x$ находим, интегрируя каждый член: $F(x) = \int (2 - 2x) \,dx = 2x - 2\frac{x^2}{2} + C = 2x - x^2 + C$.

График проходит через точку $M(2; 3)$, следовательно $F(2) = 3$. Подставляем значения:

$F(2) = 2(2) - 2^2 + C = 3$

$4 - 4 + C = 3$

$0 + C = 3$, откуда $C = 3$.

Искомая первообразная: $F(x) = 2x - x^2 + 3$, что можно записать в стандартном виде для многочлена: $F(x) = -x^2 + 2x + 3$.

Ответ: $F(x) = -x^2 + 2x + 3$

391. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = \sqrt{x}, x = 1, x = 4, y = 0$;

2) $y = \cos x, x = 0, x = \frac{\pi}{3}, y = 0$;

3) $y = x^2, y = 2 - x$;

4) $y = 2x^2, y = 0.5x + 1.5$;

5) $y = \sqrt[3]{x}, x = -8, x = -1, y = 0$;

6) $y = \frac{1}{x^3}, x = -3, x = -1, y = 0$.

1) Фигура ограничена графиком функции $y = \sqrt{x}$, осью абсцисс $y=0$ и вертикальными прямыми $x=1$ и $x=4$. Такая фигура называется криволинейной трапецией. Поскольку на отрезке $[1, 4]$ функция $y = \sqrt{x}$ неотрицательна, ее площадь вычисляется с помощью определенного интеграла.

Площадь $S$ равна:

$S = \int_{1}^{4} \sqrt{x} \,dx = \int_{1}^{4} x^{1/2} \,dx$

Найдем первообразную для $x^{1/2}$: $F(x) = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$.

Теперь по формуле Ньютона-Лейбница вычислим значение интеграла:

$S = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_1^4 = \frac{2}{3}(4^{3/2}) - \frac{2}{3}(1^{3/2})$

Учитывая, что $4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$ и $1^{3/2}=1$, получаем:

$S = \frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$

Ответ: $14/3$.

2) Фигура ограничена графиком функции $y = \cos x$, осью абсцисс $y=0$ и вертикальными прямыми $x=0$ и $x=\frac{\pi}{3}$. На отрезке $[0, \frac{\pi}{3}]$ функция $y = \cos x$ неотрицательна. Площадь этой криволинейной трапеции вычисляется как определенный интеграл.

Площадь $S$ равна:

$S = \int_{0}^{\pi/3} \cos x \,dx$

Первообразная для $\cos x$ это $\sin x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = [\sin x]_0^{\pi/3} = \sin(\frac{\pi}{3}) - \sin(0)$

Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(0)=0$.

$S = \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3) Фигура ограничена параболой $y = x^2$ и прямой $y = 2 - x$. Сначала найдем точки пересечения этих линий, чтобы определить пределы интегрирования. Для этого приравняем выражения для $y$:

$x^2 = 2 - x$

$x^2 + x - 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Это и будут наши пределы интегрирования.

На интервале $(-2, 1)$ определим, какая из функций больше. Возьмем тестовую точку $x=0$:

Для $y=x^2$: $y(0) = 0^2 = 0$.

Для $y=2-x$: $y(0) = 2 - 0 = 2$.

Так как $2 > 0$, на интервале $[-2, 1]$ график прямой $y=2-x$ лежит выше графика параболы $y=x^2$. Площадь фигуры равна интегралу от разности верхней и нижней функций.

$S = \int_{-2}^{1} ((2 - x) - x^2) \,dx = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \,dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^1 = \left(2(1) - \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3}\right) - \left(2(-2) - \frac{(-2)^2}{2} - \frac{(-2)^3}{3}\right)$

$S = \left(2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) - \left(-4 - \frac{4}{2} - \frac{-8}{3}\right) = \left(\frac{12-3-2}{6}\right) - \left(-4 - 2 + \frac{8}{3}\right)$

$S = \frac{7}{6} - \left(-6 + \frac{8}{3}\right) = \frac{7}{6} - \left(\frac{-18+8}{3}\right) = \frac{7}{6} - \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$

Ответ: $9/2$.

4) Фигура ограничена параболой $y = 2x^2$ и прямой $y = 0.5x + 1.5$. Найдем точки пересечения, чтобы определить пределы интегрирования.

$2x^2 = 0.5x + 1.5$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей:

$4x^2 = x + 3$

$4x^2 - x - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(4)(-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.

$x_1 = \frac{1+7}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$

$x_2 = \frac{1-7}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$

Пределы интегрирования от $-3/4$ до $1$. Проверим, какая функция больше на этом интервале, взяв точку $x=0$:

Для $y=2x^2$: $y(0) = 0$.

Для $y=0.5x+1.5$: $y(0) = 1.5$.

Прямая $y=0.5x+1.5$ находится выше параболы $y=2x^2$. Площадь вычисляется как:

$S = \int_{-3/4}^{1} (0.5x + 1.5 - 2x^2) \,dx$

$S = \left[ \frac{0.5x^2}{2} + 1.5x - \frac{2x^3}{3} \right]_{-3/4}^1 = \left[ \frac{x^2}{4} + \frac{3x}{2} - \frac{2x^3}{3} \right]_{-3/4}^1$

$S = \left(\frac{1^2}{4} + \frac{3 \cdot 1}{2} - \frac{2 \cdot 1^3}{3}\right) - \left(\frac{(-3/4)^2}{4} + \frac{3(-3/4)}{2} - \frac{2(-3/4)^3}{3}\right)$

$S = \left(\frac{1}{4} + \frac{3}{2} - \frac{2}{3}\right) - \left(\frac{9/16}{4} - \frac{9}{8} - \frac{2(-27/64)}{3}\right)$

$S = \left(\frac{3+18-8}{12}\right) - \left(\frac{9}{64} - \frac{9}{8} + \frac{54}{192}\right) = \frac{13}{12} - \left(\frac{9}{64} - \frac{72}{64} + \frac{18}{64}\right)$

$S = \frac{13}{12} - \left(\frac{9-72+18}{64}\right) = \frac{13}{12} - \left(-\frac{45}{64}\right) = \frac{13}{12} + \frac{45}{64}$

Приведем к общему знаменателю 192:

$S = \frac{13 \cdot 16}{192} + \frac{45 \cdot 3}{192} = \frac{208+135}{192} = \frac{343}{192}$

Ответ: $\frac{343}{192}$.

5) Фигура ограничена графиком $y = \sqrt[3]{x}$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x = -8$ и $x = -1$. На отрезке $[-8, -1]$ функция $y = \sqrt[3]{x}$ принимает отрицательные значения (например, $\sqrt[3]{-1}=-1$, $\sqrt[3]{-8}=-2$). Поэтому фигура расположена под осью $x$. Площадь такой фигуры равна модулю интеграла.

$S = \left| \int_{-8}^{-1} \sqrt[3]{x} \,dx \right| = \left| \int_{-8}^{-1} x^{1/3} \,dx \right|$

Найдем интеграл:

$\int_{-8}^{-1} x^{1/3} \,dx = \left[ \frac{x^{4/3}}{4/3} \right]_{-8}^{-1} = \left[ \frac{3}{4}x^{4/3} \right]_{-8}^{-1}$

$= \frac{3}{4}(-1)^{4/3} - \frac{3}{4}(-8)^{4/3} = \frac{3}{4}(\sqrt[3]{-1})^4 - \frac{3}{4}(\sqrt[3]{-8})^4$

$= \frac{3}{4}(-1)^4 - \frac{3}{4}(-2)^4 = \frac{3}{4}(1) - \frac{3}{4}(16) = \frac{3}{4} - \frac{48}{4} = -\frac{45}{4}$

Площадь равна модулю этого значения:

$S = \left|-\frac{45}{4}\right| = \frac{45}{4}$

Ответ: $45/4$.

6) Фигура ограничена графиком $y = \frac{1}{x^3}$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x = -3$ и $x = -1$. На отрезке $[-3, -1]$ функция $y = \frac{1}{x^3}$ отрицательна, так как $x < 0$. Фигура находится под осью $x$, и ее площадь равна модулю соответствующего интеграла.

$S = \left| \int_{-3}^{-1} \frac{1}{x^3} \,dx \right| = \left| \int_{-3}^{-1} x^{-3} \,dx \right|$

Вычислим интеграл:

$\int_{-3}^{-1} x^{-3} \,dx = \left[ \frac{x^{-2}}{-2} \right]_{-3}^{-1} = \left[ -\frac{1}{2x^2} \right]_{-3}^{-1}$

$= \left(-\frac{1}{2(-1)^2}\right) - \left(-\frac{1}{2(-3)^2}\right) = -\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2 \cdot 9}\right)$

$= -\frac{1}{2} + \frac{1}{18} = -\frac{9}{18} + \frac{1}{18} = -\frac{8}{18} = -\frac{4}{9}$

Площадь равна модулю полученного значения:

$S = \left|-\frac{4}{9}\right| = \frac{4}{9}$

Ответ: $4/9$.

Вычислить интеграл (392–394).

392. 1) $\int_{-1}^{2} 2 dx;$

2) $\int_{-2}^{2} (3-x) dx;$

3) $\int_{1}^{3} (x^2 - 2x) dx;$

4) $\int_{-1}^{1} (2x - 3x^2) dx;$

5) $\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} dx;$

6) $\int_{1}^{2} \frac{dx}{x^3};$

7) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx;$

8) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx.$

1)

Для вычисления определенного интеграла $\int_{-1}^{2} 2 dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Первообразная для функции $f(x) = 2$ есть $F(x) = 2x$.

Подставим пределы интегрирования:

$\int_{-1}^{2} 2 dx = [2x]_{-1}^{2} = 2 \cdot 2 - 2 \cdot (-1) = 4 - (-2) = 4 + 2 = 6$.

Ответ: 6

2)

Для вычисления интеграла $\int_{-2}^{2} (3-x) dx$ найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 3 - x$.

Первообразная $F(x) = \int (3-x) dx = 3x - \frac{x^2}{2}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-2}^{2} (3-x) dx = [3x - \frac{x^2}{2}]_{-2}^{2} = (3 \cdot 2 - \frac{2^2}{2}) - (3 \cdot (-2) - \frac{(-2)^2}{2}) = (6 - \frac{4}{2}) - (-6 - \frac{4}{2}) = (6-2) - (-6-2) = 4 - (-8) = 12$.

Ответ: 12

3)

Для вычисления интеграла $\int_{1}^{3} (x^2 - 2x) dx$ найдем первообразную для $f(x) = x^2 - 2x$.

Первообразная $F(x) = \int (x^2 - 2x) dx = \frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{3} - x^2$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{3} (x^2 - 2x) dx = [\frac{x^3}{3} - x^2]_{1}^{3} = (\frac{3^3}{3} - 3^2) - (\frac{1^3}{3} - 1^2) = (\frac{27}{3} - 9) - (\frac{1}{3} - 1) = (9-9) - (-\frac{2}{3}) = 0 + \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

4)

Для вычисления интеграла $\int_{-1}^{1} (2x - 3x^2) dx$ найдем первообразную для $f(x) = 2x - 3x^2$.

Первообразная $F(x) = \int (2x - 3x^2) dx = 2\frac{x^2}{2} - 3\frac{x^3}{3} = x^2 - x^3$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-1}^{1} (2x - 3x^2) dx = [x^2 - x^3]_{-1}^{1} = (1^2 - 1^3) - ((-1)^2 - (-1)^3) = (1 - 1) - (1 - (-1)) = 0 - (1+1) = -2$.

Ответ: -2

5)

Для вычисления интеграла $\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} dx$ представим подынтегральную функцию в виде $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$.

Найдем первообразную: $F(x) = \int x^{\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} dx = [\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8} = \frac{3}{4}(8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4}(1^{\frac{4}{3}}) = \frac{3}{4}(\sqrt[3]{8})^4 - \frac{3}{4}(1) = \frac{3}{4}(2^4) - \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} = 12 - \frac{3}{4} = \frac{48-3}{4} = \frac{45}{4}$.

Ответ: $\frac{45}{4}$

6)

Для вычисления интеграла $\int_{1}^{2} \frac{dx}{x^3}$ представим подынтегральную функцию в виде $f(x) = x^{-3}$.

Найдем первообразную: $F(x) = \int x^{-3} dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{2} \frac{dx}{x^3} = [-\frac{1}{2x^2}]_{1}^{2} = (-\frac{1}{2 \cdot 2^2}) - (-\frac{1}{2 \cdot 1^2}) = -\frac{1}{8} - (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{8} + \frac{4}{8} = \frac{3}{8}$.

Ответ: $\frac{3}{8}$

7)

Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx$ найдем первообразную для $f(x) = \sin x$.

Первообразная $F(x) = \int \sin x dx = -\cos x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (-\cos(\frac{\pi}{2})) - (-\cos(0)) = -0 - (-1) = 1$.

Ответ: 1

8)

Для вычисления интеграла $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$ найдем первообразную для $f(x) = \cos x$.

Первообразная $F(x) = \int \cos x dx = \sin x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = [\sin x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2

393. 1) $\int_{0}^{1} (5x^4 - 8x^3) dx;$

2) $\int_{-1}^{1} (6x^3 - 5x) dx;$

3) $\int_{1}^{4} \sqrt{x}\left(3 - \frac{7}{x}\right) dx;$

4) $\int_{1}^{8} 4\sqrt[3]{x}\left(1 - \frac{4}{x}\right) dx;$

5) $\int_{0}^{3} \sqrt{x+1} dx;$

6) $\int_{2}^{6} \sqrt{2x-3} dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{1} (5x^4 - 8x^3) dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ - первообразная для $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 5x^4 - 8x^3$.

$F(x) = \int (5x^4 - 8x^3) dx = 5\int x^4 dx - 8\int x^3 dx = 5 \cdot \frac{x^5}{5} - 8 \cdot \frac{x^4}{4} = x^5 - 2x^4$.

Теперь подставим пределы интегрирования:

$\int_{0}^{1} (5x^4 - 8x^3) dx = (x^5 - 2x^4)|_{0}^{1} = (1^5 - 2 \cdot 1^4) - (0^5 - 2 \cdot 0^4) = (1 - 2) - 0 = -1$.

Ответ: $-1$

2) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{1} (6x^3 - 5x) dx$. Подынтегральная функция $f(x) = 6x^3 - 5x$ является нечетной, так как $f(-x) = 6(-x)^3 - 5(-x) = -6x^3 + 5x = -(6x^3 - 5x) = -f(x)$. Интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку $[-a, a]$ равен нулю.

Проверим это, вычислив интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

Первообразная для $f(x) = 6x^3 - 5x$:

$F(x) = \int (6x^3 - 5x) dx = 6 \cdot \frac{x^4}{4} - 5 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{3}{2}x^4 - \frac{5}{2}x^2$.

Подставляем пределы интегрирования:

$\int_{-1}^{1} (6x^3 - 5x) dx = (\frac{3}{2}x^4 - \frac{5}{2}x^2)|_{-1}^{1} = (\frac{3}{2}(1)^4 - \frac{5}{2}(1)^2) - (\frac{3}{2}(-1)^4 - \frac{5}{2}(-1)^2) = (\frac{3}{2} - \frac{5}{2}) - (\frac{3}{2} - \frac{5}{2}) = -1 - (-1) = 0$.

Ответ: $0$

3) Для вычисления интеграла $\int_{1}^{4} \sqrt{x}(3 - \frac{7}{x}) dx$ сначала упростим подынтегральное выражение.

$f(x) = \sqrt{x}(3 - \frac{7}{x}) = 3\sqrt{x} - \frac{7\sqrt{x}}{x} = 3x^{1/2} - 7x^{1/2}x^{-1} = 3x^{1/2} - 7x^{-1/2}$.

Теперь найдем первообразную для $f(x)$:

$F(x) = \int (3x^{1/2} - 7x^{-1/2}) dx = 3 \frac{x^{3/2}}{3/2} - 7 \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{3/2} - 14x^{1/2}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{4} (3x^{1/2} - 7x^{-1/2}) dx = (2x^{3/2} - 14x^{1/2})|_{1}^{4} = (2 \cdot 4^{3/2} - 14 \cdot 4^{1/2}) - (2 \cdot 1^{3/2} - 14 \cdot 1^{1/2}) = (2 \cdot (\sqrt{4})^3 - 14 \cdot \sqrt{4}) - (2 - 14) = (2 \cdot 8 - 14 \cdot 2) - (-12) = (16 - 28) + 12 = -12 + 12 = 0$.

Ответ: $0$

4) Вычислим интеграл $\int_{1}^{8} 4\sqrt[3]{x}(1 - \frac{4}{x}) dx$. Упростим подынтегральное выражение.

$f(x) = 4\sqrt[3]{x}(1 - \frac{4}{x}) = 4x^{1/3}(1 - 4x^{-1}) = 4x^{1/3} - 16x^{1/3-1} = 4x^{1/3} - 16x^{-2/3}$.

Найдем первообразную:

$F(x) = \int (4x^{1/3} - 16x^{-2/3}) dx = 4 \frac{x^{4/3}}{4/3} - 16 \frac{x^{1/3}}{1/3} = 3x^{4/3} - 48x^{1/3}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{8} (4x^{1/3} - 16x^{-2/3}) dx = (3x^{4/3} - 48x^{1/3})|_{1}^{8} = (3 \cdot 8^{4/3} - 48 \cdot 8^{1/3}) - (3 \cdot 1^{4/3} - 48 \cdot 1^{1/3}) = (3 \cdot (\sqrt[3]{8})^4 - 48 \cdot \sqrt[3]{8}) - (3 - 48) = (3 \cdot 2^4 - 48 \cdot 2) - (-45) = (3 \cdot 16 - 96) + 45 = (48 - 96) + 45 = -48 + 45 = -3$.

Ответ: $-3$

5) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{3} \sqrt{x+1} dx$ используем метод замены переменной. Пусть $t = x+1$. Тогда $dt = dx$.

Найдем новые пределы интегрирования. Если $x=0$, то $t = 0+1=1$. Если $x=3$, то $t = 3+1=4$.

Интеграл принимает вид: $\int_{1}^{4} \sqrt{t} dt = \int_{1}^{4} t^{1/2} dt$.

Найдем первообразную и применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{4} t^{1/2} dt = (\frac{t^{3/2}}{3/2})|_{1}^{4} = (\frac{2}{3}t^{3/2})|_{1}^{4} = \frac{2}{3}(4^{3/2}) - \frac{2}{3}(1^{3/2}) = \frac{2}{3}(\sqrt{4})^3 - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}(8) - \frac{2}{3} = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$.

Ответ: $\frac{14}{3}$

6) Для вычисления интеграла $\int_{2}^{6} \sqrt{2x-3} dx$ используем метод замены переменной. Пусть $t = 2x-3$. Тогда $dt = 2dx$, откуда $dx = \frac{dt}{2}$.

Найдем новые пределы интегрирования. Если $x=2$, то $t = 2 \cdot 2 - 3 = 1$. Если $x=6$, то $t = 2 \cdot 6 - 3 = 9$.

Интеграл принимает вид: $\int_{1}^{9} \sqrt{t} \frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{9} t^{1/2} dt$.

Найдем первообразную и применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{2}\int_{1}^{9} t^{1/2} dt = \frac{1}{2}(\frac{t^{3/2}}{3/2})|_{1}^{9} = \frac{1}{2}(\frac{2}{3}t^{3/2})|_{1}^{9} = \frac{1}{3}(t^{3/2})|_{1}^{9} = \frac{1}{3}(9^{3/2} - 1^{3/2}) = \frac{1}{3}((\sqrt{9})^3 - 1) = \frac{1}{3}(27 - 1) = \frac{26}{3}$.

Ответ: $\frac{26}{3}$