Номер 371, страница 154 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 3. Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его вычисление - номер 371, страница 154.

Условие.

Вычислить интеграл (371–375).

371.

1) $\int_{-2}^{1} x(x+3)(2x-1) dx;$

2) $\int_{1}^{2} \left(x+\frac{1}{x}\right)^2 dx;$

3) $\int_{-1}^{0} (x+1)(x^2-2) dx;$

4) $\int_{-2}^{-1} \frac{4}{x^2}\left(1-\frac{2}{x}\right) dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{-2}^{1} x(x+3)(2x-1) dx$ сначала упростим подынтегральное выражение, раскрыв скобки.

$x(x+3)(2x-1) = (x^2 + 3x)(2x-1) = 2x^3 - x^2 + 6x^2 - 3x = 2x^3 + 5x^2 - 3x$.

Теперь задача сводится к вычислению интеграла от многочлена:

$\int_{-2}^{1} (2x^3 + 5x^2 - 3x) dx$.

Найдем первообразную для подынтегральной функции, используя формулу степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$:

$F(x) = \int (2x^3 + 5x^2 - 3x) dx = 2\frac{x^4}{4} + 5\frac{x^3}{3} - 3\frac{x^2}{2} = \frac{1}{2}x^4 + \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$. Вычислим значения первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования:

$F(1) = \frac{1}{2}(1)^4 + \frac{5}{3}(1)^3 - \frac{3}{2}(1)^2 = \frac{1}{2} + \frac{5}{3} - \frac{3}{2} = \frac{3+10-9}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

$F(-2) = \frac{1}{2}(-2)^4 + \frac{5}{3}(-2)^3 - \frac{3}{2}(-2)^2 = \frac{1}{2}(16) + \frac{5}{3}(-8) - \frac{3}{2}(4) = 8 - \frac{40}{3} - 6 = 2 - \frac{40}{3} = \frac{6-40}{3} = -\frac{34}{3}$.

Теперь найдем значение интеграла как разность значений первообразной:

$\int_{-2}^{1} x(x+3)(2x-1) dx = F(1) - F(-2) = \frac{2}{3} - (-\frac{34}{3}) = \frac{2+34}{3} = \frac{36}{3} = 12$.

Ответ: $12$.

2) Рассмотрим интеграл $\int_{1}^{2} (x + \frac{1}{x})^2 dx$. Сначала раскроем квадрат суммы в подынтегральном выражении:

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + x^{-2}$.

Интеграл принимает вид:

$\int_{1}^{2} (x^2 + 2 + x^{-2}) dx$.

Находим первообразную для полученной функции:

$F(x) = \int (x^2 + 2 + x^{-2}) dx = \frac{x^3}{3} + 2x + \frac{x^{-1}}{-1} = \frac{x^3}{3} + 2x - \frac{1}{x}$.

Используем формулу Ньютона-Лейбница. Сначала вычислим значение первообразной в точке $x=2$:

$F(2) = \frac{2^3}{3} + 2(2) - \frac{1}{2} = \frac{8}{3} + 4 - \frac{1}{2} = \frac{16}{6} + \frac{24}{6} - \frac{3}{6} = \frac{16+24-3}{6} = \frac{37}{6}$.

Затем вычислим значение первообразной в точке $x=1$:

$F(1) = \frac{1^3}{3} + 2(1) - \frac{1}{1} = \frac{1}{3} + 2 - 1 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$.

Значение интеграла равно разности этих значений:

$\int_{1}^{2} (x + \frac{1}{x})^2 dx = F(2) - F(1) = \frac{37}{6} - \frac{4}{3} = \frac{37}{6} - \frac{8}{6} = \frac{29}{6}$.

Ответ: $\frac{29}{6}$.

3) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{0} (x+1)(x^2-2) dx$. Первым шагом раскроем скобки в подынтегральном выражении:

$(x+1)(x^2-2) = x^3 - 2x + x^2 - 2 = x^3 + x^2 - 2x - 2$.

Интеграл для вычисления:

$\int_{-1}^{0} (x^3 + x^2 - 2x - 2) dx$.

Найдем первообразную для данного многочлена:

$F(x) = \int (x^3 + x^2 - 2x - 2) dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} - 2x = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2 - 2x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница. Вычислим значения первообразной на пределах интегрирования:

$F(0) = \frac{0^4}{4} + \frac{0^3}{3} - 0^2 - 2(0) = 0$.

$F(-1) = \frac{(-1)^4}{4} + \frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 - 2(-1) = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} - 1 + 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} + 1 = \frac{3-4+12}{12} = \frac{11}{12}$.

Вычисляем значение интеграла:

$\int_{-1}^{0} (x+1)(x^2-2) dx = F(0) - F(-1) = 0 - \frac{11}{12} = -\frac{11}{12}$.

Ответ: $-\frac{11}{12}$.

4) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{-1} \frac{4}{x^2}(1-\frac{2}{x}) dx$. Упростим подынтегральное выражение:

$\frac{4}{x^2}(1-\frac{2}{x}) = \frac{4}{x^2} - \frac{8}{x^3} = 4x^{-2} - 8x^{-3}$.

Интеграл принимает вид:

$\int_{-2}^{-1} (4x^{-2} - 8x^{-3}) dx$.

Найдем первообразную этой функции:

$F(x) = \int (4x^{-2} - 8x^{-3}) dx = 4\frac{x^{-1}}{-1} - 8\frac{x^{-2}}{-2} = -4x^{-1} + 4x^{-2} = -\frac{4}{x} + \frac{4}{x^2}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница. Вычислим значения первообразной на верхнем и нижнем пределах:

$F(-1) = -\frac{4}{-1} + \frac{4}{(-1)^2} = 4 + \frac{4}{1} = 8$.

$F(-2) = -\frac{4}{-2} + \frac{4}{(-2)^2} = 2 + \frac{4}{4} = 2 + 1 = 3$.

Найдем разность, чтобы получить значение интеграла:

$\int_{-2}^{-1} \frac{4}{x^2}(1-\frac{2}{x}) dx = F(-1) - F(-2) = 8 - 3 = 5$.

Ответ: $5$.