Номер 371, страница 154 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 3. Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его вычисление. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 371, страница 154.
№371 (с. 154)
Условие. №371 (с. 154)
скриншот условия

Вычислить интеграл (371–375).
371.
1) $\int_{-2}^{1} x(x+3)(2x-1) dx;$
2) $\int_{1}^{2} \left(x+\frac{1}{x}\right)^2 dx;$
3) $\int_{-1}^{0} (x+1)(x^2-2) dx;$
4) $\int_{-2}^{-1} \frac{4}{x^2}\left(1-\frac{2}{x}\right) dx.$
Решение 1. №371 (с. 154)




Решение 2. №371 (с. 154)

Решение 3. №371 (с. 154)
1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{-2}^{1} x(x+3)(2x-1) dx$ сначала упростим подынтегральное выражение, раскрыв скобки.
$x(x+3)(2x-1) = (x^2 + 3x)(2x-1) = 2x^3 - x^2 + 6x^2 - 3x = 2x^3 + 5x^2 - 3x$.
Теперь задача сводится к вычислению интеграла от многочлена:
$\int_{-2}^{1} (2x^3 + 5x^2 - 3x) dx$.
Найдем первообразную для подынтегральной функции, используя формулу степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$:
$F(x) = \int (2x^3 + 5x^2 - 3x) dx = 2\frac{x^4}{4} + 5\frac{x^3}{3} - 3\frac{x^2}{2} = \frac{1}{2}x^4 + \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$. Вычислим значения первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования:
$F(1) = \frac{1}{2}(1)^4 + \frac{5}{3}(1)^3 - \frac{3}{2}(1)^2 = \frac{1}{2} + \frac{5}{3} - \frac{3}{2} = \frac{3+10-9}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
$F(-2) = \frac{1}{2}(-2)^4 + \frac{5}{3}(-2)^3 - \frac{3}{2}(-2)^2 = \frac{1}{2}(16) + \frac{5}{3}(-8) - \frac{3}{2}(4) = 8 - \frac{40}{3} - 6 = 2 - \frac{40}{3} = \frac{6-40}{3} = -\frac{34}{3}$.
Теперь найдем значение интеграла как разность значений первообразной:
$\int_{-2}^{1} x(x+3)(2x-1) dx = F(1) - F(-2) = \frac{2}{3} - (-\frac{34}{3}) = \frac{2+34}{3} = \frac{36}{3} = 12$.
Ответ: $12$.
2) Рассмотрим интеграл $\int_{1}^{2} (x + \frac{1}{x})^2 dx$. Сначала раскроем квадрат суммы в подынтегральном выражении:
$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + x^{-2}$.
Интеграл принимает вид:
$\int_{1}^{2} (x^2 + 2 + x^{-2}) dx$.
Находим первообразную для полученной функции:
$F(x) = \int (x^2 + 2 + x^{-2}) dx = \frac{x^3}{3} + 2x + \frac{x^{-1}}{-1} = \frac{x^3}{3} + 2x - \frac{1}{x}$.
Используем формулу Ньютона-Лейбница. Сначала вычислим значение первообразной в точке $x=2$:
$F(2) = \frac{2^3}{3} + 2(2) - \frac{1}{2} = \frac{8}{3} + 4 - \frac{1}{2} = \frac{16}{6} + \frac{24}{6} - \frac{3}{6} = \frac{16+24-3}{6} = \frac{37}{6}$.
Затем вычислим значение первообразной в точке $x=1$:
$F(1) = \frac{1^3}{3} + 2(1) - \frac{1}{1} = \frac{1}{3} + 2 - 1 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$.
Значение интеграла равно разности этих значений:
$\int_{1}^{2} (x + \frac{1}{x})^2 dx = F(2) - F(1) = \frac{37}{6} - \frac{4}{3} = \frac{37}{6} - \frac{8}{6} = \frac{29}{6}$.
Ответ: $\frac{29}{6}$.
3) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{0} (x+1)(x^2-2) dx$. Первым шагом раскроем скобки в подынтегральном выражении:
$(x+1)(x^2-2) = x^3 - 2x + x^2 - 2 = x^3 + x^2 - 2x - 2$.
Интеграл для вычисления:
$\int_{-1}^{0} (x^3 + x^2 - 2x - 2) dx$.
Найдем первообразную для данного многочлена:
$F(x) = \int (x^3 + x^2 - 2x - 2) dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} - 2x = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2 - 2x$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница. Вычислим значения первообразной на пределах интегрирования:
$F(0) = \frac{0^4}{4} + \frac{0^3}{3} - 0^2 - 2(0) = 0$.
$F(-1) = \frac{(-1)^4}{4} + \frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 - 2(-1) = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} - 1 + 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} + 1 = \frac{3-4+12}{12} = \frac{11}{12}$.
Вычисляем значение интеграла:
$\int_{-1}^{0} (x+1)(x^2-2) dx = F(0) - F(-1) = 0 - \frac{11}{12} = -\frac{11}{12}$.
Ответ: $-\frac{11}{12}$.
4) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{-1} \frac{4}{x^2}(1-\frac{2}{x}) dx$. Упростим подынтегральное выражение:
$\frac{4}{x^2}(1-\frac{2}{x}) = \frac{4}{x^2} - \frac{8}{x^3} = 4x^{-2} - 8x^{-3}$.
Интеграл принимает вид:
$\int_{-2}^{-1} (4x^{-2} - 8x^{-3}) dx$.
Найдем первообразную этой функции:
$F(x) = \int (4x^{-2} - 8x^{-3}) dx = 4\frac{x^{-1}}{-1} - 8\frac{x^{-2}}{-2} = -4x^{-1} + 4x^{-2} = -\frac{4}{x} + \frac{4}{x^2}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница. Вычислим значения первообразной на верхнем и нижнем пределах:
$F(-1) = -\frac{4}{-1} + \frac{4}{(-1)^2} = 4 + \frac{4}{1} = 8$.
$F(-2) = -\frac{4}{-2} + \frac{4}{(-2)^2} = 2 + \frac{4}{4} = 2 + 1 = 3$.
Найдем разность, чтобы получить значение интеграла:
$\int_{-2}^{-1} \frac{4}{x^2}(1-\frac{2}{x}) dx = F(-1) - F(-2) = 8 - 3 = 5$.
Ответ: $5$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 371 расположенного на странице 154 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №371 (с. 154), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.