Номер 369, страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 3. Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его вычисление - номер 369, страница 153.

Условие.

369. 1) $\int_{-3}^{2} (2x - 3) dx$;

2) $\int_{-2}^{-1} (5 - 4x) dx$;

3) $\int_{-1}^{2} (1 - 3x^2) dx$;

4) $\int_{-1}^{1} (x^2 + 1) dx$;

5) $\int_{1}^{2} (2x + 3x^2) dx$;

6) $\int_{-2}^{0} (9x^2 - 4x) dx$;

7) $\int_{-2}^{-1} (6x^2 + 2x - 10) dx$;

8) $\int_{0}^{2} (3x^2 - 4x + 5) dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{-3}^{2} (2x - 3) dx$ используется формула Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$.
Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 2x - 3$. Используя таблицу первообразных, получаем:
$F(x) = \int (2x - 3) dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - 3x = 2 \frac{x^2}{2} - 3x = x^2 - 3x$.
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница, подставив пределы интегрирования $a = -3$ и $b = 2$:
$\int_{-3}^{2} (2x - 3) dx = (x^2 - 3x) \Big|_{-3}^{2} = (2^2 - 3 \cdot 2) - ((-3)^2 - 3 \cdot (-3)) = (4 - 6) - (9 + 9) = -2 - 18 = -20$.
Ответ: -20

2) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{-1} (5 - 4x) dx$.
Найдем первообразную для $f(x) = 5 - 4x$:
$F(x) = \int (5 - 4x) dx = 5x - 4 \frac{x^2}{2} = 5x - 2x^2$.
Подставим пределы интегрирования $a = -2$ и $b = -1$ в формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{-2}^{-1} (5 - 4x) dx = (5x - 2x^2) \Big|_{-2}^{-1} = (5(-1) - 2(-1)^2) - (5(-2) - 2(-2)^2) = (-5 - 2(1)) - (-10 - 2(4)) = (-5 - 2) - (-10 - 8) = -7 - (-18) = -7 + 18 = 11$.
Ответ: 11

3) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{2} (1 - 3x^2) dx$.
Найдем первообразную для $f(x) = 1 - 3x^2$:
$F(x) = \int (1 - 3x^2) dx = x - 3 \frac{x^3}{3} = x - x^3$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница для пределов $a = -1$ и $b = 2$:
$\int_{-1}^{2} (1 - 3x^2) dx = (x - x^3) \Big|_{-1}^{2} = (2 - 2^3) - ((-1) - (-1)^3) = (2 - 8) - (-1 - (-1)) = -6 - (-1 + 1) = -6 - 0 = -6$.
Ответ: -6

4) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{1} (x^2 + 1) dx$.
Найдем первообразную для $f(x) = x^2 + 1$:
$F(x) = \int (x^2 + 1) dx = \frac{x^3}{3} + x$.
Подставим пределы интегрирования $a = -1$ и $b = 1$ в формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{-1}^{1} (x^2 + 1) dx = (\frac{x^3}{3} + x) \Big|_{-1}^{1} = (\frac{1^3}{3} + 1) - (\frac{(-1)^3}{3} + (-1)) = (\frac{1}{3} + 1) - (-\frac{1}{3} - 1) = \frac{4}{3} - (-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$.
Ответ: $\frac{8}{3}$

5) Вычислим интеграл $\int_{1}^{2} (2x + 3x^2) dx$.
Найдем первообразную для $f(x) = 2x + 3x^2$:
$F(x) = \int (2x + 3x^2) dx = 2\frac{x^2}{2} + 3\frac{x^3}{3} = x^2 + x^3$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница для пределов $a = 1$ и $b = 2$:
$\int_{1}^{2} (2x + 3x^2) dx = (x^2 + x^3) \Big|_{1}^{2} = (2^2 + 2^3) - (1^2 + 1^3) = (4 + 8) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10$.
Ответ: 10

6) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{0} (9x^2 - 4x) dx$.
Найдем первообразную для $f(x) = 9x^2 - 4x$:
$F(x) = \int (9x^2 - 4x) dx = 9\frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} = 3x^3 - 2x^2$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница для пределов $a = -2$ и $b = 0$:
$\int_{-2}^{0} (9x^2 - 4x) dx = (3x^3 - 2x^2) \Big|_{-2}^{0} = (3 \cdot 0^3 - 2 \cdot 0^2) - (3(-2)^3 - 2(-2)^2) = 0 - (3(-8) - 2(4)) = -( -24 - 8) = -(-32) = 32$.
Ответ: 32

7) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{-1} (6x^2 + 2x - 10) dx$.
Найдем первообразную для $f(x) = 6x^2 + 2x - 10$:
$F(x) = \int (6x^2 + 2x - 10) dx = 6\frac{x^3}{3} + 2\frac{x^2}{2} - 10x = 2x^3 + x^2 - 10x$.
Подставим пределы интегрирования $a = -2$ и $b = -1$ в формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{-2}^{-1} (6x^2 + 2x - 10) dx = (2x^3 + x^2 - 10x) \Big|_{-2}^{-1} = (2(-1)^3 + (-1)^2 - 10(-1)) - (2(-2)^3 + (-2)^2 - 10(-2)) = (2(-1) + 1 + 10) - (2(-8) + 4 + 20) = (-2 + 1 + 10) - (-16 + 24) = 9 - 8 = 1$.
Ответ: 1

8) Вычислим интеграл $\int_{0}^{2} (3x^2 - 4x + 5) dx$.
Найдем первообразную для $f(x) = 3x^2 - 4x + 5$:
$F(x) = \int (3x^2 - 4x + 5) dx = 3\frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} + 5x = x^3 - 2x^2 + 5x$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница для пределов $a = 0$ и $b = 2$:
$\int_{0}^{2} (3x^2 - 4x + 5) dx = (x^3 - 2x^2 + 5x) \Big|_{0}^{2} = (2^3 - 2 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2) - (0^3 - 2 \cdot 0^2 + 5 \cdot 0) = (8 - 2 \cdot 4 + 10) - 0 = (8 - 8 + 10) = 10$.
Ответ: 10