Номер 367, страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 3. Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его вычисление - номер 367, страница 153.

Условие.

Вычислить интеграл (367–369).

367. 1) $\int_0^3 x^2 dx;$

2) $\int_{-2}^3 2x dx;$

3) $\int_1^2 \frac{1}{x^3} dx;$

4) $\int_4^9 \frac{1}{\sqrt{x}} dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для вычисления определенного интеграла $ \int_{0}^{3} x^2 dx $ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ — первообразная для функции $ f(x) $.

Сначала найдем первообразную для функции $ f(x) = x^2 $. Используя табличный интеграл для степенной функции $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} $, получаем:

$ F(x) = \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3} $.

Теперь подставим пределы интегрирования $ a=0 $ и $ b=3 $ в формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{3} x^2 dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} - 0 = 9 $.

Ответ: 9

2) Вычислим интеграл $ \int_{-2}^{3} 2x dx $.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = 2x $:

$ F(x) = \int 2x dx = 2 \int x^1 dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $ a=-2 $ и $ b=3 $:

$ \int_{-2}^{3} 2x dx = \left. x^2 \right|_{-2}^{3} = 3^2 - (-2)^2 = 9 - 4 = 5 $.

Ответ: 5

3) Вычислим интеграл $ \int_{1}^{2} \frac{1}{x^3} dx $.

Представим подынтегральную функцию в виде степени: $ f(x) = \frac{1}{x^3} = x^{-3} $.

Найдем первообразную для $ f(x) = x^{-3} $:

$ F(x) = \int x^{-3} dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $ a=1 $ и $ b=2 $:

$ \int_{1}^{2} \frac{1}{x^3} dx = \left. -\frac{1}{2x^2} \right|_{1}^{2} = \left(-\frac{1}{2 \cdot 2^2}\right) - \left(-\frac{1}{2 \cdot 1^2}\right) = -\frac{1}{2 \cdot 4} - \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{8} + \frac{4}{8} = \frac{3}{8} $.

Ответ: $ \frac{3}{8} $

4) Вычислим интеграл $ \int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} dx $.

Представим подынтегральную функцию в виде степени: $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2} $.

Найдем первообразную для $ f(x) = x^{-1/2} $:

$ F(x) = \int x^{-1/2} dx = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{1/2} = 2\sqrt{x} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $ a=4 $ и $ b=9 $:

$ \int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \left. 2\sqrt{x} \right|_{4}^{9} = 2\sqrt{9} - 2\sqrt{4} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 2 = 6 - 4 = 2 $.

Ответ: 2