Номер 365, страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 3. Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его вычисление - номер 365, страница 153.

Условие.

365. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми $x = a$, $x = b$, осью $Ox$ и графиком функции $y = f(x)$, если:

1) $a = 3$, $b = 4$, $f(x) = x^2$;

2) $a = 0$, $b = 2$, $f(x) = x^3 + 1$;

3) $a = 1$, $b = 8$, $f(x) = \sqrt[3]{x}$;

4) $a = 4$, $b = 9$, $f(x) = \sqrt{x}$;

5) $a = \frac{\pi}{3}$, $b = \frac{2\pi}{3}$, $f(x) = \sin x$;

6) $a = -\frac{\pi}{6}$, $b = 0$, $f(x) = \cos x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми $x = a, x = b$, осью Ox и графиком неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y = f(x)$, вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

1) $a = 3, b = 4, f(x) = x^2$

Вычисляем площадь как определенный интеграл:

$S = \int_{3}^{4} x^2 \,dx$

Первообразная для функции $f(x) = x^2$ равна $F(x) = \frac{x^3}{3}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{3}^{4} = \frac{4^3}{3} - \frac{3^3}{3} = \frac{64}{3} - \frac{27}{3} = \frac{37}{3} = 12 \frac{1}{3}$.

Ответ: $12 \frac{1}{3}$.

2) $a = 0, b = 2, f(x) = x^3 + 1$

Вычисляем площадь как определенный интеграл:

$S = \int_{0}^{2} (x^3 + 1) \,dx$

Первообразная для функции $f(x) = x^3 + 1$ равна $F(x) = \frac{x^4}{4} + x$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{x^4}{4} + x \right]_{0}^{2} = \left(\frac{2^4}{4} + 2\right) - \left(\frac{0^4}{4} + 0\right) = \left(\frac{16}{4} + 2\right) - 0 = 4 + 2 = 6$.

Ответ: $6$.

3) $a = 1, b = 8, f(x) = \sqrt[3]{x}$

Представим функцию в виде $f(x) = x^{1/3}$. Вычисляем площадь:

$S = \int_{1}^{8} x^{1/3} \,dx$

Первообразная для функции $f(x) = x^{1/3}$ равна $F(x) = \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} = \frac{x^{4/3}}{4/3} = \frac{3}{4}x^{4/3}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{3}{4}x^{4/3} \right]_{1}^{8} = \frac{3}{4}(8^{4/3}) - \frac{3}{4}(1^{4/3}) = \frac{3}{4}(\sqrt[3]{8})^4 - \frac{3}{4}(1) = \frac{3}{4}(2^4) - \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} = 12 - \frac{3}{4} = \frac{45}{4} = 11.25$.

Ответ: $\frac{45}{4}$.

4) $a = 4, b = 9, f(x) = \sqrt{x}$

Представим функцию в виде $f(x) = x^{1/2}$. Вычисляем площадь:

$S = \int_{4}^{9} x^{1/2} \,dx$

Первообразная для функции $f(x) = x^{1/2}$ равна $F(x) = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_{4}^{9} = \frac{2}{3}(9^{3/2}) - \frac{2}{3}(4^{3/2}) = \frac{2}{3}(\sqrt{9})^3 - \frac{2}{3}(\sqrt{4})^3 = \frac{2}{3}(3^3) - \frac{2}{3}(2^3) = \frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 8 = 18 - \frac{16}{3} = \frac{54-16}{3} = \frac{38}{3} = 12 \frac{2}{3}$.

Ответ: $12 \frac{2}{3}$.

5) $a = \frac{\pi}{3}, b = \frac{2\pi}{3}, f(x) = \sin x$

Вычисляем площадь как определенный интеграл:

$S = \int_{\pi/3}^{2\pi/3} \sin x \,dx$

Первообразная для функции $f(x) = \sin x$ равна $F(x) = -\cos x$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ -\cos x \right]_{\pi/3}^{2\pi/3} = (-\cos(\frac{2\pi}{3})) - (-\cos(\frac{\pi}{3})) = \cos(\frac{\pi}{3}) - \cos(\frac{2\pi}{3}) = \frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Ответ: $1$.

6) $a = -\frac{\pi}{6}, b = 0, f(x) = \cos x$

Вычисляем площадь как определенный интеграл:

$S = \int_{-\pi/6}^{0} \cos x \,dx$

Первообразная для функции $f(x) = \cos x$ равна $F(x) = \sin x$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \sin x \right]_{-\pi/6}^{0} = \sin(0) - \sin(-\frac{\pi}{6}) = 0 - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.