Страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

361. 1) $e^{3x} - \cos 2x;$

2) $e^{\frac{x}{3}} + \sin 3x;$

3) $2\sin \frac{x}{3} - 5e^{2x+\frac{1}{5}};$

4) $3\cos \frac{x}{7} + 2e^{3x-\frac{1}{2}};$

5) $5\sqrt{\frac{x}{4}} - 5\cos(6x-1);$

6) $\sqrt{\frac{x}{5}} + 4\sin(4x+2);$

7) $\frac{3}{\sqrt[3]{2x-1}};$

8) $\frac{4}{\sqrt{3x+1}} - \frac{3}{2x-5}.$

1) Для нахождения всех первообразных функции $f(x) = e^{3x} - \cos(2x)$ необходимо вычислить неопределенный интеграл.
$F(x) = \int (e^{3x} - \cos(2x)) dx = \int e^{3x} dx - \int \cos(2x) dx$.
Применяем табличные интегралы для экспоненты и косинуса: $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$ и $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$.
Для первого слагаемого $k=3$, поэтому $\int e^{3x} dx = \frac{1}{3}e^{3x}$.
Для второго слагаемого $k=2$, поэтому $\int \cos(2x) dx = \frac{1}{2}\sin(2x)$.
Следовательно, искомая совокупность первообразных:
$F(x) = \frac{1}{3}e^{3x} - \frac{1}{2}\sin(2x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{3}e^{3x} - \frac{1}{2}\sin(2x) + C$.

2) Найдем первообразную для функции $f(x) = e^{\frac{x}{3}} + \sin(3x)$.
$F(x) = \int (e^{\frac{x}{3}} + \sin(3x)) dx = \int e^{\frac{x}{3}} dx + \int \sin(3x) dx$.
Используем табличные интегралы: $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$ и $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$.
Для первого слагаемого $k=\frac{1}{3}$, получаем $\int e^{\frac{x}{3}} dx = \frac{1}{1/3}e^{\frac{x}{3}} = 3e^{\frac{x}{3}}$.
Для второго слагаемого $k=3$, получаем $\int \sin(3x) dx = -\frac{1}{3}\cos(3x)$.
Следовательно, искомая совокупность первообразных:
$F(x) = 3e^{\frac{x}{3}} - \frac{1}{3}\cos(3x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = 3e^{\frac{x}{3}} - \frac{1}{3}\cos(3x) + C$.

3) Найдем первообразную для функции $f(x) = 2\sin\frac{x}{3} - 5e^{2x+\frac{1}{5}}$.
$F(x) = \int (2\sin\frac{x}{3} - 5e^{2x+\frac{1}{5}}) dx = 2\int \sin\frac{x}{3} dx - 5\int e^{2x+\frac{1}{5}} dx$.
Используем формулы: $\int \sin(kx+b) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b) + C$ и $\int e^{kx+b} dx = \frac{1}{k}e^{kx+b} + C$.
Для первого интеграла $k=\frac{1}{3}$: $2 \cdot (-\frac{1}{1/3}\cos\frac{x}{3}) = 2 \cdot (-3\cos\frac{x}{3}) = -6\cos\frac{x}{3}$.
Для второго интеграла $k=2$: $-5 \cdot (\frac{1}{2}e^{2x+\frac{1}{5}}) = -\frac{5}{2}e^{2x+\frac{1}{5}}$.
Следовательно, искомая совокупность первообразных:
$F(x) = -6\cos\frac{x}{3} - \frac{5}{2}e^{2x+\frac{1}{5}} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = -6\cos\frac{x}{3} - \frac{5}{2}e^{2x+\frac{1}{5}} + C$.

4) Найдем первообразную для функции $f(x) = 3\cos\frac{x}{7} + 2e^{3x-\frac{1}{2}}$.
$F(x) = \int (3\cos\frac{x}{7} + 2e^{3x-\frac{1}{2}}) dx = 3\int \cos\frac{x}{7} dx + 2\int e^{3x-\frac{1}{2}} dx$.
Используем формулы: $\int \cos(kx+b) dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b) + C$ и $\int e^{kx+b} dx = \frac{1}{k}e^{kx+b} + C$.
Для первого интеграла $k=\frac{1}{7}$: $3 \cdot (\frac{1}{1/7}\sin\frac{x}{7}) = 3 \cdot (7\sin\frac{x}{7}) = 21\sin\frac{x}{7}$.
Для второго интеграла $k=3$: $2 \cdot (\frac{1}{3}e^{3x-\frac{1}{2}}) = \frac{2}{3}e^{3x-\frac{1}{2}}$.
Следовательно, искомая совокупность первообразных:
$F(x) = 21\sin\frac{x}{7} + \frac{2}{3}e^{3x-\frac{1}{2}} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = 21\sin\frac{x}{7} + \frac{2}{3}e^{3x-\frac{1}{2}} + C$.

5) Найдем первообразную для функции $f(x) = 5\sqrt{\frac{x}{4}} - 5\cos(6x-1)$.
Упростим выражение: $f(x) = 5\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4}} - 5\cos(6x-1) = \frac{5}{2}x^{1/2} - 5\cos(6x-1)$.
$F(x) = \int (\frac{5}{2}x^{1/2} - 5\cos(6x-1)) dx = \frac{5}{2}\int x^{1/2} dx - 5\int \cos(6x-1) dx$.
Используем формулы: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и $\int \cos(kx+b) dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b) + C$.
Для первого интеграла $n=1/2$: $\frac{5}{2} \cdot \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{5}{3}x^{3/2}$.
Для второго интеграла $k=6$: $-5 \cdot (\frac{1}{6}\sin(6x-1)) = -\frac{5}{6}\sin(6x-1)$.
Следовательно, искомая совокупность первообразных:
$F(x) = \frac{5}{3}x^{3/2} - \frac{5}{6}\sin(6x-1) + C$, или $F(x) = \frac{5}{3}x\sqrt{x} - \frac{5}{6}\sin(6x-1) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = \frac{5}{3}x\sqrt{x} - \frac{5}{6}\sin(6x-1) + C$.

6) Найдем первообразную для функции $f(x) = \sqrt{\frac{x}{5}} + 4\sin(4x+2)$.
Упростим выражение: $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}} + 4\sin(4x+2) = \frac{1}{\sqrt{5}}x^{1/2} + 4\sin(4x+2)$.
$F(x) = \int (\frac{1}{\sqrt{5}}x^{1/2} + 4\sin(4x+2)) dx = \frac{1}{\sqrt{5}}\int x^{1/2} dx + 4\int \sin(4x+2) dx$.
Используем формулы: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и $\int \sin(kx+b) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b) + C$.
Для первого интеграла $n=1/2$: $\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3\sqrt{5}}x^{3/2} = \frac{2\sqrt{5}}{15}x^{3/2}$.
Для второго интеграла $k=4$: $4 \cdot (-\frac{1}{4}\cos(4x+2)) = -\cos(4x+2)$.
Следовательно, искомая совокупность первообразных:
$F(x) = \frac{2\sqrt{5}}{15}x^{3/2} - \cos(4x+2) + C$, или $F(x) = \frac{2\sqrt{5}}{15}x\sqrt{x} - \cos(4x+2) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = \frac{2\sqrt{5}}{15}x\sqrt{x} - \cos(4x+2) + C$.

7) Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{3}{\sqrt[3]{2x-1}}$.
Представим функцию в виде степени: $f(x) = 3(2x-1)^{-1/3}$.
$F(x) = \int 3(2x-1)^{-1/3} dx = 3\int (2x-1)^{-1/3} dx$.
Используем формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k}\frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.
Здесь $k=2, b=-1, n=-1/3$.
$F(x) = 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x-1)^{-1/3+1}}{-1/3+1} \right) + C = 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x-1)^{2/3}}{2/3} \right) + C = 3 \cdot \left( \frac{3}{4} (2x-1)^{2/3} \right) + C = \frac{9}{4}(2x-1)^{2/3} + C$.
Результат можно записать с использованием корня: $F(x) = \frac{9}{4}\sqrt[3]{(2x-1)^2} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{9}{4}\sqrt[3]{(2x-1)^2} + C$.

8) Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{4}{\sqrt{3x+1}} - \frac{3}{2x-5}$.
Представим функцию в виде: $f(x) = 4(3x+1)^{-1/2} - 3(2x-5)^{-1}$.
$F(x) = \int (4(3x+1)^{-1/2} - 3(2x-5)^{-1}) dx = 4\int (3x+1)^{-1/2} dx - 3\int \frac{1}{2x-5} dx$.
Для первого интеграла используем формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k}\frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.
Здесь $k=3, n=-1/2$: $4 \cdot \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x+1)^{-1/2+1}}{-1/2+1} \right) = 4 \cdot \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x+1)^{1/2}}{1/2} \right) = \frac{8}{3}\sqrt{3x+1}$.
Для второго интеграла используем формулу $\int \frac{1}{kx+b} dx = \frac{1}{k}\ln|kx+b| + C$.
Здесь $k=2$: $-3 \cdot (\frac{1}{2}\ln|2x-5|) = -\frac{3}{2}\ln|2x-5|$.
Следовательно, искомая совокупность первообразных:
$F(x) = \frac{8}{3}\sqrt{3x+1} - \frac{3}{2}\ln|2x-5| + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = \frac{8}{3}\sqrt{3x+1} - \frac{3}{2}\ln|2x-5| + C$.

362. 1) $\frac{2x^4 - 4x^3 + x}{3}$; 2) $\frac{6x^3 - 3x + 2}{5}$; 3) $\frac{2x^3 - 3x}{x^2}$;

4) $\frac{3x^4 + 5x^2}{x^3}$; 5) $3x(2 - x^2)$; 6) $2x(1 - x)$;

7) $(1 + 2x)(x - 3)$; 8) $(2x - 3)(2 + 3x)$.

1) Чтобы упростить выражение $\frac{2x^4 - 4x^3 + x}{3}$, необходимо каждый член многочлена в числителе разделить на знаменатель 3.
$\frac{2x^4 - 4x^3 + x}{3} = \frac{2x^4}{3} - \frac{4x^3}{3} + \frac{x}{3}$
Это можно записать в виде многочлена стандартного вида:
$\frac{2}{3}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + \frac{1}{3}x$
Ответ: $\frac{2}{3}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + \frac{1}{3}x$.

2) Аналогично первому примеру, разделим каждый член числителя $6x^3 - 3x + 2$ на знаменатель 5.
$\frac{6x^3 - 3x + 2}{5} = \frac{6x^3}{5} - \frac{3x}{5} + \frac{2}{5}$
Запишем в виде многочлена:
$\frac{6}{5}x^3 - \frac{3}{5}x + \frac{2}{5}$
Ответ: $\frac{6}{5}x^3 - \frac{3}{5}x + \frac{2}{5}$.

3) В выражении $\frac{2x^3 - 3x}{x^2}$ разделим каждый член числителя на знаменатель $x^2$. Предполагается, что $x \neq 0$.
$\frac{2x^3 - 3x}{x^2} = \frac{2x^3}{x^2} - \frac{3x}{x^2}$
Используем свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2x^{3-2} - 3x^{1-2} = 2x^1 - 3x^{-1} = 2x - \frac{3}{x}$
Ответ: $2x - \frac{3}{x}$.

4) Для упрощения дроби $\frac{3x^4 + 5x^2}{x^3}$ разделим каждый член числителя на знаменатель $x^3$, при условии что $x \neq 0$.
$\frac{3x^4 + 5x^2}{x^3} = \frac{3x^4}{x^3} + \frac{5x^2}{x^3}$
Применяем свойство степеней:
$3x^{4-3} + 5x^{2-3} = 3x^1 + 5x^{-1} = 3x + \frac{5}{x}$
Ответ: $3x + \frac{5}{x}$.

5) Чтобы раскрыть скобки в выражении $3x(2 - x^2)$, используем распределительный закон умножения. Умножим $3x$ на каждый член в скобках.
$3x \cdot 2 - 3x \cdot x^2$
Выполним умножение:
$6x - 3x^{1+2} = 6x - 3x^3$
Запишем в стандартном виде, упорядочив по убыванию степеней:
$-3x^3 + 6x$
Ответ: $-3x^3 + 6x$.

6) Раскроем скобки в выражении $2x(1 - x)$ по распределительному закону.
$2x \cdot 1 - 2x \cdot x$
Выполним умножение:
$2x - 2x^2$
Запишем в стандартном виде:
$-2x^2 + 2x$
Ответ: $-2x^2 + 2x$.

7) Для умножения двух двучленов $(1 + 2x)(x - 3)$ воспользуемся правилом умножения многочленов. Каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго.
$(1 + 2x)(x - 3) = 1 \cdot x + 1 \cdot (-3) + 2x \cdot x + 2x \cdot (-3)$
Выполним умножения:
$x - 3 + 2x^2 - 6x$
Приведем подобные слагаемые ($x$ и $-6x$) и запишем результат в стандартном виде:
$2x^2 + (x - 6x) - 3 = 2x^2 - 5x - 3$
Ответ: $2x^2 - 5x - 3$.

8) Умножим двучлены $(2x - 3)(2 + 3x)$.
$(2x - 3)(2 + 3x) = 2x \cdot 2 + 2x \cdot 3x - 3 \cdot 2 - 3 \cdot 3x$
Выполним умножения:
$4x + 6x^2 - 6 - 9x$
Приведем подобные слагаемые ($4x$ и $-9x$) и упорядочим члены по убыванию степеней:
$6x^2 + (4x - 9x) - 6 = 6x^2 - 5x - 6$
Ответ: $6x^2 - 5x - 6$.

363. 1) $(2x+1)\sqrt{x};$

2) $(3x-2)\sqrt[3]{x};$

3) $\frac{x+4}{\sqrt[3]{x}};$

4) $\frac{x-3}{\sqrt{x}}.$

1)

Требуется найти производную функции $y = (2x+1)\sqrt{x}$.

Для удобства дифференцирования, сначала преобразуем данное выражение. Представим корень в виде степени и раскроем скобки:

$y = (2x+1)x^{1/2} = 2x \cdot x^{1/2} + 1 \cdot x^{1/2} = 2x^{1 + 1/2} + x^{1/2} = 2x^{3/2} + x^{1/2}$

Теперь функция представляет собой сумму степенных функций. Найдём её производную, используя правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$ и формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = (2x^{3/2} + x^{1/2})' = (2x^{3/2})' + (x^{1/2})' = 2 \cdot \frac{3}{2}x^{3/2-1} + \frac{1}{2}x^{1/2-1}$

$y' = 3x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}$

Преобразуем результат к более удобному виду, избавившись от отрицательных и дробных степеней, и приведем к общему знаменателю:

$y' = 3\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{6x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{6x+1}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $\frac{6x+1}{2\sqrt{x}}$

2)

Найдём производную функции $y = (3x-2)\sqrt[3]{x}$.

Сначала преобразуем выражение. Запишем кубический корень как степень $1/3$ и раскроем скобки:

$y = (3x-2)x^{1/3} = 3x \cdot x^{1/3} - 2 \cdot x^{1/3} = 3x^{1 + 1/3} - 2x^{1/3} = 3x^{4/3} - 2x^{1/3}$

Теперь продифференцируем полученную сумму степенных функций:

$y' = (3x^{4/3} - 2x^{1/3})' = (3x^{4/3})' - (2x^{1/3})' = 3 \cdot \frac{4}{3}x^{4/3-1} - 2 \cdot \frac{1}{3}x^{1/3-1}$

$y' = 4x^{1/3} - \frac{2}{3}x^{-2/3}$

Упростим полученное выражение, перейдя обратно к корням и приведя дроби к общему знаменателю:

$y' = 4\sqrt[3]{x} - \frac{2}{3x^{2/3}} = 4\sqrt[3]{x} - \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}} = \frac{4\sqrt[3]{x} \cdot 3\sqrt[3]{x^2}}{3\sqrt[3]{x^2}} - \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}} = \frac{12\sqrt[3]{x^3}}{3\sqrt[3]{x^2}} - \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}} = \frac{12x - 2}{3\sqrt[3]{x^2}}$

Ответ: $\frac{12x-2}{3\sqrt[3]{x^2}}$

3)

Найдём производную функции $y = \frac{x+4}{\sqrt[3]{x}}$.

Для упрощения дифференцирования, разделим числитель на знаменатель почленно, предварительно представив корень в виде степени:

$y = \frac{x+4}{x^{1/3}} = \frac{x}{x^{1/3}} + \frac{4}{x^{1/3}} = x^{1 - 1/3} + 4x^{-1/3} = x^{2/3} + 4x^{-1/3}$

Теперь найдём производную как сумму производных степенных функций:

$y' = (x^{2/3} + 4x^{-1/3})' = (x^{2/3})' + (4x^{-1/3})' = \frac{2}{3}x^{2/3-1} + 4 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)x^{-1/3-1}$

$y' = \frac{2}{3}x^{-1/3} - \frac{4}{3}x^{-4/3}$

Преобразуем выражение, чтобы избавиться от отрицательных степеней, и приведем к общему знаменателю:

$y' = \frac{2}{3x^{1/3}} - \frac{4}{3x^{4/3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} - \frac{4}{3\sqrt[3]{x^4}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} - \frac{4}{3x\sqrt[3]{x}}$

Общий знаменатель $3x\sqrt[3]{x}$.

$y' = \frac{2 \cdot x}{3\sqrt[3]{x} \cdot x} - \frac{4}{3x\sqrt[3]{x}} = \frac{2x - 4}{3x\sqrt[3]{x}} = \frac{2(x-2)}{3x\sqrt[3]{x}}$

Ответ: $\frac{2x-4}{3x\sqrt[3]{x}}$

4)

Найдём производную функции $y = \frac{x-3}{\sqrt{x}}$.

Преобразуем выражение, разделив числитель на знаменатель почленно:

$y = \frac{x-3}{x^{1/2}} = \frac{x}{x^{1/2}} - \frac{3}{x^{1/2}} = x^{1-1/2} - 3x^{-1/2} = x^{1/2} - 3x^{-1/2}$

Теперь найдём производную, используя правила дифференцирования:

$y' = (x^{1/2} - 3x^{-1/2})' = (x^{1/2})' - (3x^{-1/2})' = \frac{1}{2}x^{1/2-1} - 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-1/2-1}$

$y' = \frac{1}{2}x^{-1/2} + \frac{3}{2}x^{-3/2}$

Упростим выражение, представив его через корни и приведя к общему знаменателю:

$y' = \frac{1}{2x^{1/2}} + \frac{3}{2x^{3/2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{3}{2x\sqrt{x}}$

Общий знаменатель $2x\sqrt{x}$.

$y' = \frac{1 \cdot x}{2\sqrt{x} \cdot x} + \frac{3}{2x\sqrt{x}} = \frac{x}{2x\sqrt{x}} + \frac{3}{2x\sqrt{x}} = \frac{x+3}{2x\sqrt{x}}$

Ответ: $\frac{x+3}{2x\sqrt{x}}$

364. Для функции $f(x)$ найти первообразную, график которой проходит через точку $M$:

1) $f(x) = 2x + 3, M(1; 2);$

2) $f(x) = 4x - 1, M(-1; 3);$

3) $f(x) = \sqrt{x+2}, M(2; -3);$

4) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+3}}, M(-2; -1);$

5) $f(x) = \sin 2x, M(\frac{\pi}{2}; 5);$

6) $f(x) = \cos 3x, M(0; 0);$

7) $f(x) = \frac{1}{x+3}, M(-2; 4);$

8) $f(x) = \frac{1}{(x+1)^2}, M(-2; 2).$

1) Общий вид первообразной для функции $f(x) = 2x + 3$ находится путем интегрирования: $F(x) = \int (2x + 3) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = x^2 + 3x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Чтобы найти конкретную первообразную, график которой проходит через точку $M(1; 2)$, подставим координаты этой точки в уравнение первообразной: $F(1) = 2$.
$1^2 + 3 \cdot 1 + C = 2$
$1 + 3 + C = 2$
$4 + C = 2$
$C = 2 - 4 = -2$
Следовательно, искомая первообразная имеет вид $F(x) = x^2 + 3x - 2$.
Ответ: $F(x) = x^2 + 3x - 2$.

2) Общий вид первообразной для функции $f(x) = 4x - 1$: $F(x) = \int (4x - 1) dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C = 2x^2 - x + C$.
График проходит через точку $M(-1; 3)$, поэтому $F(-1) = 3$.
$2(-1)^2 - (-1) + C = 3$
$2 \cdot 1 + 1 + C = 3$
$3 + C = 3$
$C = 0$
Искомая первообразная: $F(x) = 2x^2 - x$.
Ответ: $F(x) = 2x^2 - x$.

3) Общий вид первообразной для функции $f(x) = \sqrt{x+2} = (x+2)^{1/2}$: $F(x) = \int (x+2)^{1/2} dx = \frac{(x+2)^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{(x+2)^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}(x+2)\sqrt{x+2} + C$.
График проходит через точку $M(2; -3)$, поэтому $F(2) = -3$.
$\frac{2}{3}(2+2)\sqrt{2+2} + C = -3$
$\frac{2}{3}(4)\sqrt{4} + C = -3$
$\frac{2}{3} \cdot 8 + C = -3$
$\frac{16}{3} + C = -3$
$C = -3 - \frac{16}{3} = -\frac{9}{3} - \frac{16}{3} = -\frac{25}{3}$
Искомая первообразная: $F(x) = \frac{2}{3}(x+2)\sqrt{x+2} - \frac{25}{3}$.
Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}(x+2)\sqrt{x+2} - \frac{25}{3}$.

4) Общий вид первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+3}} = (x+3)^{-1/2}$: $F(x) = \int (x+3)^{-1/2} dx = \frac{(x+3)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{(x+3)^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{x+3} + C$.
График проходит через точку $M(-2; -1)$, поэтому $F(-2) = -1$.
$2\sqrt{-2+3} + C = -1$
$2\sqrt{1} + C = -1$
$2 + C = -1$
$C = -3$
Искомая первообразная: $F(x) = 2\sqrt{x+3} - 3$.
Ответ: $F(x) = 2\sqrt{x+3} - 3$.

5) Общий вид первообразной для функции $f(x) = \sin 2x$: $F(x) = \int \sin 2x dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C$.
График проходит через точку $M(\frac{\pi}{2}; 5)$, поэтому $F(\frac{\pi}{2}) = 5$.
$-\frac{1}{2}\cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) + C = 5$
$-\frac{1}{2}\cos(\pi) + C = 5$
$-\frac{1}{2}(-1) + C = 5$
$\frac{1}{2} + C = 5$
$C = 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$
Искомая первообразная: $F(x) = -\frac{1}{2}\cos 2x + \frac{9}{2}$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2}\cos 2x + \frac{9}{2}$.

6) Общий вид первообразной для функции $f(x) = \cos 3x$: $F(x) = \int \cos 3x dx = \frac{1}{3}\sin 3x + C$.
График проходит через точку $M(0; 0)$, поэтому $F(0) = 0$.
$\frac{1}{3}\sin(3 \cdot 0) + C = 0$
$\frac{1}{3}\sin(0) + C = 0$
$0 + C = 0$
$C = 0$
Искомая первообразная: $F(x) = \frac{1}{3}\sin 3x$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{3}\sin 3x$.

7) Общий вид первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{x+3}$: $F(x) = \int \frac{1}{x+3} dx = \ln|x+3| + C$.
График проходит через точку $M(-2; 4)$, поэтому $F(-2) = 4$.
$\ln|-2+3| + C = 4$
$\ln(1) + C = 4$
$0 + C = 4$
$C = 4$
Искомая первообразная: $F(x) = \ln|x+3| + 4$.
Ответ: $F(x) = \ln|x+3| + 4$.

8) Общий вид первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{(x+1)^2} = (x+1)^{-2}$: $F(x) = \int (x+1)^{-2} dx = \frac{(x+1)^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{(x+1)^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x+1} + C$.
График проходит через точку $M(-2; 2)$, поэтому $F(-2) = 2$.
$-\frac{1}{-2+1} + C = 2$
$-\frac{1}{-1} + C = 2$
$1 + C = 2$
$C = 1$
Искомая первообразная: $F(x) = -\frac{1}{x+1} + 1$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x+1} + 1$.