Страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

352. Показать, что функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на всей числовой прямой:

1) $F(x) = x^4$, $f(x) = 4x^3$;

2) $F(x) = 1 - e^{-x}$, $f(x) = e^{-x}$;

3) $F(x) = \frac{x^5}{5} + 1$, $f(x) = x^4$;

4) $F(x) = 3e^{\frac{x}{3}}$, $f(x) = e^{\frac{x}{3}}$;

5) $F(x) = 2 + \sin 4x$, $f(x) = 4\cos 4x$;

6) $F(x) = \cos 3x - 5$, $f(x) = -3\sin 3x$.

Для того чтобы показать, что функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на всей числовой прямой, необходимо доказать, что производная функции $F(x)$ равна функции $f(x)$ для любого действительного $x$. То есть, должно выполняться равенство $F'(x) = f(x)$.

1) $F(x) = x^4, f(x) = 4x^3$

Находим производную функции $F(x)$ по правилу дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$F'(x) = (x^4)' = 4x^{4-1} = 4x^3$

Так как $F'(x) = 4x^3$ и $f(x) = 4x^3$, то $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Функция $F(x)=x^4$ является первообразной для функции $f(x)=4x^3$ на всей числовой прямой.

2) $F(x) = 1 - e^{-x}, f(x) = e^{-x}$

Находим производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования разности и правило дифференцирования сложной функции для $e^{-x}$:

$F'(x) = (1 - e^{-x})' = (1)' - (e^{-x})' = 0 - (e^{-x} \cdot (-x)') = - (e^{-x} \cdot (-1)) = e^{-x}$

Так как $F'(x) = e^{-x}$ и $f(x) = e^{-x}$, то $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Функция $F(x)=1 - e^{-x}$ является первообразной для функции $f(x)=e^{-x}$ на всей числовой прямой.

3) $F(x) = \frac{x^5}{5} + 1, f(x) = x^4$

Находим производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (\frac{x^5}{5} + 1)' = (\frac{1}{5}x^5)' + (1)' = \frac{1}{5} \cdot (x^5)' + 0 = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 = x^4$

Так как $F'(x) = x^4$ и $f(x) = x^4$, то $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Функция $F(x)=\frac{x^5}{5} + 1$ является первообразной для функции $f(x)=x^4$ на всей числовой прямой.

4) $F(x) = 3e^{\frac{x}{3}}, f(x) = e^{\frac{x}{3}}$

Находим производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$F'(x) = (3e^{\frac{x}{3}})' = 3 \cdot (e^{\frac{x}{3}})' = 3 \cdot e^{\frac{x}{3}} \cdot (\frac{x}{3})' = 3 \cdot e^{\frac{x}{3}} \cdot \frac{1}{3} = e^{\frac{x}{3}}$

Так как $F'(x) = e^{\frac{x}{3}}$ и $f(x) = e^{\frac{x}{3}}$, то $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Функция $F(x)=3e^{\frac{x}{3}}$ является первообразной для функции $f(x)=e^{\frac{x}{3}}$ на всей числовой прямой.

5) $F(x) = 2 + \sin 4x, f(x) = 4\cos 4x$

Находим производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции для $\sin 4x$:

$F'(x) = (2 + \sin 4x)' = (2)' + (\sin 4x)' = 0 + \cos(4x) \cdot (4x)' = \cos(4x) \cdot 4 = 4\cos 4x$

Так как $F'(x) = 4\cos 4x$ и $f(x) = 4\cos 4x$, то $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Функция $F(x)=2 + \sin 4x$ является первообразной для функции $f(x)=4\cos 4x$ на всей числовой прямой.

6) $F(x) = \cos 3x - 5, f(x) = -3\sin 3x$

Находим производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции для $\cos 3x$:

$F'(x) = (\cos 3x - 5)' = (\cos 3x)' - (5)' = -\sin(3x) \cdot (3x)' - 0 = -\sin(3x) \cdot 3 = -3\sin 3x$

Так как $F'(x) = -3\sin 3x$ и $f(x) = -3\sin 3x$, то $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Функция $F(x)=\cos 3x - 5$ является первообразной для функции $f(x)=-3\sin 3x$ на всей числовой прямой.

353. Показать, что функция F(x) является первообразной для функции f(x) при x > 0:

1) $F(x) = \frac{3}{x}$, $f(x) = -\frac{3}{x^2}$;

2) $F(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + 4$, $f(x) = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}$;

3) $F(x) = 2 - x^{\frac{3}{2}}$, $f(x) = -\frac{3}{2}\sqrt{x}$;

4) $F(x) = \sqrt{2x}$, $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}}$.

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. Условие задачи для всех пунктов: $x > 0$.

1) $F(x) = \frac{3}{x}$, $f(x) = -\frac{3}{x^2}$

Чтобы доказать, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, найдем производную функции $F(x)$.
Для удобства дифференцирования представим функцию $F(x)$ в виде степенной функции: $F(x) = 3x^{-1}$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$F'(x) = (3x^{-1})' = 3 \cdot (-1) \cdot x^{-1-1} = -3x^{-2}$.
Запишем результат в виде дроби: $F'(x) = -\frac{3}{x^2}$.
Сравниваем полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = -\frac{3}{x^2}$ и $f(x) = -\frac{3}{x^2}$.
Так как $F'(x) = f(x)$, утверждение доказано.
Ответ: Функция $F(x) = \frac{3}{x}$ является первообразной для $f(x) = -\frac{3}{x^2}$, так как $F'(x) = f(x)$.

2) $F(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + 4$, $f(x) = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}$

Найдем производную функции $F(x)$.
Представим функцию $F(x)$ в виде степенной функции: $F(x) = x^{-\frac{1}{2}} + 4$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции и то, что производная константы равна нулю:
$F'(x) = (x^{-\frac{1}{2}} + 4)' = (x^{-\frac{1}{2}})' + (4)' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1} + 0 = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$.
Запишем результат в виде дроби: $F'(x) = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}$.
Сравниваем полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}$ и $f(x) = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}$.
Так как $F'(x) = f(x)$, утверждение доказано.
Ответ: Функция $F(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + 4$ является первообразной для $f(x) = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}$, так как $F'(x) = f(x)$.

3) $F(x) = 2 - x^{\frac{3}{2}}$, $f(x) = -\frac{3}{2}\sqrt{x}$

Найдем производную функции $F(x)$.
Используем правило дифференцирования степенной функции и то, что производная константы равна нулю:
$F'(x) = (2 - x^{\frac{3}{2}})' = (2)' - (x^{\frac{3}{2}})' = 0 - \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = -\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$.
Представим результат с использованием знака корня: $F'(x) = -\frac{3}{2}\sqrt{x}$.
Сравниваем полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = -\frac{3}{2}\sqrt{x}$ и $f(x) = -\frac{3}{2}\sqrt{x}$.
Так как $F'(x) = f(x)$, утверждение доказано.
Ответ: Функция $F(x) = 2 - x^{\frac{3}{2}}$ является первообразной для $f(x) = -\frac{3}{2}\sqrt{x}$, так как $F'(x) = f(x)$.

4) $F(x) = \sqrt{2x}$, $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}}$

Найдем производную функции $F(x)$. Данная функция является сложной.
Представим $F(x)$ в виде $F(x) = (2x)^{\frac{1}{2}}$.
Используем правило дифференцирования сложной функции $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$, где $g(u) = u^{\frac{1}{2}}$ и $h(x) = 2x$.
Производные этих функций: $g'(u) = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}$ и $h'(x) = 2$.
Находим производную $F'(x)$:
$F'(x) = \frac{1}{2}(2x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (2x)' = \frac{1}{2}(2x)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 = (2x)^{-\frac{1}{2}}$.
Представим результат с использованием знака корня: $F'(x) = \frac{1}{(2x)^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2x}}$.
Сравниваем полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}}$ и $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}}$.
Так как $F'(x) = f(x)$, утверждение доказано.
Ответ: Функция $F(x) = \sqrt{2x}$ является первообразной для $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}}$, так как $F'(x) = f(x)$.

354. Найти все первообразные для функции:

1) $x^6$;

2) $x^5$;

3) $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$;

4) $\sqrt[4]{x}$;

5) $x^{\frac{2}{3}}$;

6) $x^{-\frac{3}{4}}$.

Для нахождения всех первообразных (неопределенного интеграла) для степенной функции вида $f(x) = x^n$ используется общая формула:

$F(x) = \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

1) Для функции $f(x) = x^6$ имеем показатель степени $n=6$.

Применяя общую формулу, получаем:

$F(x) = \frac{x^{6+1}}{6+1} + C = \frac{x^7}{7} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^7}{7} + C$.

2) Для функции $f(x) = x^5$ показатель степени $n=5$.

Аналогично предыдущему пункту находим первообразную:

$F(x) = \frac{x^{5+1}}{5+1} + C = \frac{x^6}{6} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^6}{6} + C$.

3) Сначала необходимо представить функцию $f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ в виде степенной функции. Так как $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$, то $f(x) = \frac{1}{x^{1/3}} = x^{-1/3}$.

Теперь применяем формулу интегрирования для $n = -1/3$:

$F(x) = \frac{x^{-1/3 + 1}}{-1/3 + 1} + C = \frac{x^{2/3}}{2/3} + C = \frac{3}{2}x^{2/3} + C$.

Результат можно также записать в виде с корнем: $\frac{3\sqrt[3]{x^2}}{2} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{3}{2}x^{2/3} + C$.

4) Функцию $f(x) = \sqrt[4]{x}$ представляем в виде степенной функции: $f(x) = x^{1/4}$.

Находим первообразную, используя формулу для $n = 1/4$:

$F(x) = \frac{x^{1/4 + 1}}{1/4 + 1} + C = \frac{x^{5/4}}{5/4} + C = \frac{4}{5}x^{5/4} + C$.

Результат можно также записать в виде с корнем: $\frac{4}{5}\sqrt[4]{x^5}$ или $\frac{4}{5}x\sqrt[4]{x} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{4}{5}x^{5/4} + C$.

5) Для функции $f(x) = x^{2/3}$ показатель степени $n = 2/3$.

Находим первообразную по общей формуле:

$F(x) = \frac{x^{2/3 + 1}}{2/3 + 1} + C = \frac{x^{5/3}}{5/3} + C = \frac{3}{5}x^{5/3} + C$.

Результат можно также записать в виде с корнем: $\frac{3}{5}\sqrt[3]{x^5}$ или $\frac{3}{5}x\sqrt[3]{x^2} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{3}{5}x^{5/3} + C$.

6) Для функции $f(x) = x^{-3/4}$ показатель степени $n = -3/4$.

Находим первообразную:

$F(x) = \frac{x^{-3/4 + 1}}{-3/4 + 1} + C = \frac{x^{1/4}}{1/4} + C = 4x^{1/4} + C$.

Результат можно также записать в виде с корнем: $4\sqrt[4]{x} + C$.

Ответ: $F(x) = 4x^{1/4} + C$.

355. Для функции $f(x)$ найти первообразную, график которой проходит через точку $M$:

1) $f(x) = x^2$, $M(1; 2);$

2) $f(x) = x$, $M(-1; 3);$

3) $f(x) = \frac{1}{x}$, $M(1; -1);$

4) $f(x) = \sqrt{x}$, $M(9; 10).$

Чтобы найти первообразную функции $f(x)$, график которой проходит через заданную точку $M(x_0; y_0)$, нужно выполнить следующие шаги:
1. Найти общий вид первообразной $F(x) = \int f(x)dx + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
2. Подставить координаты точки $M$ в уравнение первообразной, то есть решить уравнение $F(x_0) = y_0$ относительно $C$.
3. Записать итоговую первообразную с найденным значением $C$.

Сначала находим общий вид первообразной для функции $f(x) = x^2$. Используем формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$F(x) = \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C$.

Теперь используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(1; 2)$. Это означает, что при $x=1$ значение $F(x)$ должно быть равно $2$, то есть $F(1) = 2$.

Подставляем значения в найденную формулу: $F(1) = \frac{1^3}{3} + C = 2$.

Решаем уравнение относительно $C$: $\frac{1}{3} + C = 2$
$C = 2 - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$.

Подставляем найденное значение $C$ в общую формулу первообразной.
Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{5}{3}$.

Находим общий вид первообразной для $f(x) = x = x^1$.

$F(x) = \int x^1 dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^2}{2} + C$.

График первообразной проходит через точку $M(-1; 3)$, следовательно $F(-1) = 3$.

Подставляем значения: $F(-1) = \frac{(-1)^2}{2} + C = 3$.

Решаем уравнение относительно $C$: $\frac{1}{2} + C = 3$
$C = 3 - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

Искомая первообразная имеет вид:
Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{5}{2}$.

Находим общий вид первообразной для $f(x) = \frac{1}{x}$. Первообразная для этой функции — натуральный логарифм.

$F(x) = \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$.

График первообразной проходит через точку $M(1; -1)$, следовательно $F(1) = -1$.

Подставляем значения: $F(1) = \ln|1| + C = -1$.

Так как $\ln(1) = 0$, получаем: $0 + C = -1$
$C = -1$.

Таким образом, искомая первообразная:
Ответ: $F(x) = \ln|x| - 1$.

Находим общий вид первообразной для $f(x) = \sqrt{x}$. Представим функцию в виде $f(x) = x^{\frac{1}{2}}$.

$F(x) = \int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C$.

График первообразной проходит через точку $M(9; 10)$, следовательно $F(9) = 10$.

Подставляем значения: $F(9) = \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} + C = 10$.

Вычислим значение $9^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$.
$\frac{2}{3} \cdot 27 + C = 10$
$2 \cdot 9 + C = 10$
$18 + C = 10$.

Решаем уравнение относительно $C$: $C = 10 - 18 = -8$.

Искомая первообразная имеет вид:
Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 8$.