Страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

356. 1) $2x^5 - 3x^2$;

2) $5x^4 + 2x^3$;

3) $3x^3 + 2x - 1$;

4) $6x^2 - 4x + 3$;

5) $\frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}$;

6) $4\sqrt[3]{x} - 6\sqrt{x}$;

7) $\sqrt{x} + 2\sqrt[3]{x}$;

8) $\frac{2}{x^3} - \frac{3}{x}$.

Для нахождения первообразной функции $F(x)$ для заданной функции $f(x)$ используется операция интегрирования. Основные правила и формулы, которые будут использоваться:

• Правило для степенной функции: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (где $n \neq -1$)
• Правило для $x^{-1}$: $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$
• Интеграл от суммы/разности: $\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$
• Вынесение константы: $\int k \cdot f(x) dx = k \int f(x) dx$

1) $2x^5 - 3x^2$

Находим первообразную для функции $f(x) = 2x^5 - 3x^2$.
$F(x) = \int (2x^5 - 3x^2) dx = \int 2x^5 dx - \int 3x^2 dx$
Применяем правило вынесения константы и формулу для степенной функции:
$F(x) = 2 \int x^5 dx - 3 \int x^2 dx = 2 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} - 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = 2 \cdot \frac{x^6}{6} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C$
Упрощаем выражение:
$F(x) = \frac{x^6}{3} - x^3 + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^6}{3} - x^3 + C$.

2) $5x^4 + 2x^3$

Находим первообразную для функции $f(x) = 5x^4 + 2x^3$.
$F(x) = \int (5x^4 + 2x^3) dx = 5 \int x^4 dx + 2 \int x^3 dx$
$F(x) = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} + 2 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = 5 \cdot \frac{x^5}{5} + 2 \cdot \frac{x^4}{4} + C$
Упрощаем:
$F(x) = x^5 + \frac{x^4}{2} + C$.
Ответ: $F(x) = x^5 + \frac{x^4}{2} + C$.

3) $3x^3 + 2x - 1$

Находим первообразную для функции $f(x) = 3x^3 + 2x - 1$.
$F(x) = \int (3x^3 + 2x - 1) dx = 3 \int x^3 dx + 2 \int x dx - \int 1 dx$
$F(x) = 3 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - x + C = 3 \frac{x^4}{4} + 2 \frac{x^2}{2} - x + C$
Упрощаем:
$F(x) = \frac{3}{4}x^4 + x^2 - x + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{3}{4}x^4 + x^2 - x + C$.

4) $6x^2 - 4x + 3$

Находим первообразную для функции $f(x) = 6x^2 - 4x + 3$.
$F(x) = \int (6x^2 - 4x + 3) dx = 6 \int x^2 dx - 4 \int x dx + \int 3 dx$
$F(x) = 6 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} - 4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + 3x + C = 6 \frac{x^3}{3} - 4 \frac{x^2}{2} + 3x + C$
Упрощаем:
$F(x) = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C$.
Ответ: $F(x) = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C$.

5) $\frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}$

Находим первообразную для функции $f(x) = \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}$.
Перепишем функцию в виде $f(x) = 2 \cdot \frac{1}{x} + 3x^{-2}$.
$F(x) = \int (2 \cdot \frac{1}{x} + 3x^{-2}) dx = 2 \int \frac{1}{x} dx + 3 \int x^{-2} dx$
Применяем соответствующие формулы:
$F(x) = 2\ln|x| + 3 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = 2\ln|x| + 3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C$
Упрощаем:
$F(x) = 2\ln|x| - 3x^{-1} + C = 2\ln|x| - \frac{3}{x} + C$.
Ответ: $F(x) = 2\ln|x| - \frac{3}{x} + C$.

6) $4\sqrt[3]{x} - 6\sqrt{x}$

Находим первообразную для функции $f(x) = 4\sqrt[3]{x} - 6\sqrt{x}$.
Представим корни в виде степеней: $f(x) = 4x^{1/3} - 6x^{1/2}$.
$F(x) = \int (4x^{1/3} - 6x^{1/2}) dx = 4 \int x^{1/3} dx - 6 \int x^{1/2} dx$
$F(x) = 4 \cdot \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} - 6 \cdot \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + C = 4 \cdot \frac{x^{4/3}}{4/3} - 6 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + C$
Упрощаем:
$F(x) = 4 \cdot \frac{3}{4}x^{4/3} - 6 \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} + C = 3x^{4/3} - 4x^{3/2} + C$.
Ответ: $F(x) = 3x^{4/3} - 4x^{3/2} + C$.

7) $\sqrt{x} + 2\sqrt[3]{x}$

Находим первообразную для функции $f(x) = \sqrt{x} + 2\sqrt[3]{x}$.
Представим корни в виде степеней: $f(x) = x^{1/2} + 2x^{1/3}$.
$F(x) = \int (x^{1/2} + 2x^{1/3}) dx = \int x^{1/2} dx + 2 \int x^{1/3} dx$
$F(x) = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + 2 \cdot \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + 2 \cdot \frac{x^{4/3}}{4/3} + C$
Упрощаем:
$F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + 2 \cdot \frac{3}{4}x^{4/3} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{4/3} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{4/3} + C$.

8) $\frac{2}{x^3} - \frac{3}{x}$

Находим первообразную для функции $f(x) = \frac{2}{x^3} - \frac{3}{x}$.
Перепишем функцию в виде $f(x) = 2x^{-3} - 3 \cdot \frac{1}{x}$.
$F(x) = \int (2x^{-3} - 3 \cdot \frac{1}{x}) dx = 2 \int x^{-3} dx - 3 \int \frac{1}{x} dx$
$F(x) = 2 \cdot \frac{x^{-3+1}}{-3+1} - 3\ln|x| + C = 2 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} - 3\ln|x| + C$
Упрощаем:
$F(x) = -x^{-2} - 3\ln|x| + C = -\frac{1}{x^2} - 3\ln|x| + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x^2} - 3\ln|x| + C$.