Страница 138 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

11. Доказать достаточное условие возрастания (убывания) функции.

Достаточное условие возрастания функции

Формулировка теоремы: Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a, b) и ее производная f'(x) > 0 для всех x из этого интервала, то функция f(x) строго возрастает на интервале (a, b).

Доказательство:

Для доказательства нам нужно показать, что для любых двух точек x_1 и x_2 из интервала (a, b), таких что x_1 < x_2, выполняется неравенство f(x_1) < f(x_2).

Возьмем две произвольные точки x_1 и x_2 из (a, b), удовлетворяющие условию x_1 < x_2. Рассмотрим функцию f(x) на отрезке [x_1, x_2].

Поскольку функция f(x) дифференцируема на интервале (a, b), она также непрерывна на любом отрезке внутри этого интервала, в частности на [x_1, x_2], и дифференцируема на (x_1, x_2). Таким образом, для функции f(x) на отрезке [x_1, x_2] выполнены все условия теоремы Лагранжа о среднем значении.

Согласно теореме Лагранжа, существует точка c, принадлежащая интервалу (x_1, x_2), для которой справедливо равенство:
$f'(c) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

Выразим из этой формулы разность значений функции:
$f(x_2) - f(x_1) = f'(c) \cdot (x_2 - x_1)$

Теперь проанализируем знаки сомножителей в правой части равенства:
1. По условию теоремы, производная f'(x) > 0 для любой точки из интервала (a, b). Так как точка c принадлежит интервалу (x_1, x_2), который является подмножеством (a, b), то f'(c) > 0.
2. Мы выбрали точки так, что x_1 < x_2, следовательно, разность (x_2 - x_1) > 0.

Произведение двух положительных чисел является положительным числом, поэтому правая часть равенства больше нуля:
$f(x_2) - f(x_1) > 0$

Из этого неравенства следует, что f(x_2) > f(x_1).

Поскольку мы доказали, что для любых x_1 < x_2 из интервала (a, b) выполняется f(x_1) < f(x_2), это означает, что функция f(x) является строго возрастающей на данном интервале. Теорема доказана.

Ответ: Доказано, что положительность производной функции на интервале является достаточным условием для строгого возрастания функции на этом интервале.

Достаточное условие убывания функции

Формулировка теоремы: Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a, b) и ее производная f'(x) < 0 для всех x из этого интервала, то функция f(x) строго убывает на интервале (a, b).

Доказательство:

Доказательство аналогично предыдущему. Нам нужно показать, что для любых двух точек x_1 и x_2 из интервала (a, b), таких что x_1 < x_2, выполняется неравенство f(x_1) > f(x_2).

Возьмем произвольные точки x_1, x_2 ∈ (a, b), где x_1 < x_2. Функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на отрезке [x_1, x_2]. Следовательно, существует точка c ∈ (x_1, x_2), такая что:
$f(x_2) - f(x_1) = f'(c) \cdot (x_2 - x_1)$

Проанализируем знаки сомножителей в правой части:
1. По условию теоремы, производная f'(x) < 0 для любой точки из интервала (a, b). Поскольку c ∈ (a, b), то f'(c) < 0.
2. По нашему выбору, x_1 < x_2, значит, разность (x_2 - x_1) > 0.

Произведение отрицательного и положительного чисел является отрицательным числом, поэтому правая часть равенства меньше нуля:
$f(x_2) - f(x_1) < 0$

Из этого неравенства следует, что f(x_2) < f(x_1), или f(x_1) > f(x_2).

Так как для любых x_1 < x_2 из интервала (a, b) выполняется f(x_1) > f(x_2), это по определению означает, что функция f(x) является строго убывающей на данном интервале. Теорема доказана.

Ответ: Доказано, что отрицательность производной функции на интервале является достаточным условием для строгого убывания функции на этом интервале.

12. Доказать достаточные условия экстремума.

Достаточные условия экстремума позволяют определить характер стационарной точки функции (является ли она точкой минимума, максимума или перегиба), основываясь на значениях производных высших порядков в этой точке.

Теорема (достаточное условие экстремума второго порядка)

Пусть функция $y = f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$ и имеет в этой точке вторую производную. Пусть также первая производная в этой точке равна нулю: $f'(x_0) = 0$ (то есть $x_0$ — стационарная точка). Тогда:

• Если $f''(x_0) > 0$, то $x_0$ является точкой строгого локального минимума.
• Если $f''(x_0) < 0$, то $x_0$ является точкой строгого локального максимума.

(Если $f''(x_0) = 0$, то данная теорема не дает ответа о наличии экстремума, и требуется дополнительное исследование).

Доказательство

Для доказательства используем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано для функции $f(x)$ в окрестности точки $x_0$. Так как по условию функция дважды дифференцируема в точке $x_0$, ее разложение имеет вид:

$f(x) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + o((x - x_0)^2)$

По условию теоремы, $x_0$ — стационарная точка, следовательно, $f'(x_0) = 0$. Формула упрощается:

$f(x) = f(x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x - x_0)^2 + o((x - x_0)^2)$

Рассмотрим разность $f(x) - f(x_0)$, которая представляет собой приращение функции в точке $x_0$:

$f(x) - f(x_0) = \frac{f''(x_0)}{2}(x - x_0)^2 + o((x - x_0)^2)$

Вынесем $(x - x_0)^2$ за скобки. По определению "о малого", $o((x - x_0)^2)$ можно представить как $\alpha(x)(x-x_0)^2$, где $\lim_{x \to x_0} \alpha(x) = 0$.

$f(x) - f(x_0) = \left(\frac{f''(x_0)}{2} + \alpha(x)\right)(x - x_0)^2$

Знак приращения $f(x) - f(x_0)$ в малой окрестности точки $x_0$ определяет, является ли эта точка точкой экстремума. Множитель $(x - x_0)^2$ всегда положителен при $x \neq x_0$. Следовательно, знак всей правой части зависит от знака выражения в скобках $\left(\frac{f''(x_0)}{2} + \alpha(x)\right)$.

Случай 1: $f''(x_0) > 0$.

Поскольку $\lim_{x \to x_0} \alpha(x) = 0$, а $\frac{f''(x_0)}{2}$ — положительная константа, то найдется такая малая проколотая окрестность $\dot{U}(x_0)$ точки $x_0$, в которой $|\alpha(x)|$ будет меньше, чем $\frac{f''(x_0)}{2}$. Формально, для $\varepsilon = \frac{f''(x_0)}{4} > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что для всех $x$, удовлетворяющих $0 < |x-x_0| < \delta$, выполняется $|\alpha(x)| < \varepsilon$.

Для $x \in \dot{U}(x_0)$ значение выражения в скобках будет положительным:

$\frac{f''(x_0)}{2} + \alpha(x) > \frac{f''(x_0)}{2} - \frac{f''(x_0)}{4} = \frac{f''(x_0)}{4} > 0$

Таким образом, для всех $x \in \dot{U}(x_0)$ оба множителя в выражении для $f(x) - f(x_0)$ положительны. Следовательно,

$f(x) - f(x_0) > 0 \implies f(x) > f(x_0)$

Это по определению означает, что $x_0$ — точка строгого локального минимума.

Случай 2: $f''(x_0) < 0$.

Рассуждения аналогичны. Поскольку $\lim_{x \to x_0} \alpha(x) = 0$, а $\frac{f''(x_0)}{2}$ — отрицательная константа, то для $\varepsilon = -\frac{f''(x_0)}{4} > 0$ найдется такая малая проколотая окрестность $\dot{U}(x_0)$, в которой $|\alpha(x)| < \varepsilon$.

Для $x \in \dot{U}(x_0)$ значение выражения в скобках будет отрицательным:

$\frac{f''(x_0)}{2} + \alpha(x) < \frac{f''(x_0)}{2} - \frac{f''(x_0)}{4} = \frac{f''(x_0)}{4} < 0$

Таким образом, для всех $x \in \dot{U}(x_0)$ первый множитель отрицателен, а второй ($(x-x_0)^2$) положителен. Следовательно,

$f(x) - f(x_0) < 0 \implies f(x) < f(x_0)$

Это по определению означает, что $x_0$ — точка строгого локального максимума. Доказательство основной теоремы завершено.

Обобщение (достаточные условия высших порядков)

Теорему можно обобщить на случай, когда и вторая производная в стационарной точке равна нулю.
Пусть функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ производные до $n$-го порядка включительно ($n \ge 2$), и пусть:

$f'(x_0) = f''(x_0) = \dots = f^{(n-1)}(x_0) = 0$, а $f^{(n)}(x_0) \neq 0$.

Тогда разложение функции по формуле Тейлора в окрестности $x_0$ имеет вид:

$f(x) - f(x_0) = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + o((x - x_0)^n)$

Знак приращения $f(x) - f(x_0)$ вблизи $x_0$ определяется знаком главного члена $\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n$.

• Если $n$ — четное число, то $(x - x_0)^n > 0$ при $x \neq x_0$. Знак приращения совпадает со знаком $f^{(n)}(x_0)$.
  • Если $f^{(n)}(x_0) > 0$, то $f(x) > f(x_0)$, и в точке $x_0$ — локальный минимум.
  • Если $f^{(n)}(x_0) < 0$, то $f(x) < f(x_0)$, и в точке $x_0$ — локальный максимум.
• Если $n$ — нечетное число, то множитель $(x - x_0)^n$ меняет знак при переходе через точку $x_0$. Это означает, что приращение $f(x) - f(x_0)$ также меняет знак в окрестности $x_0$. Следовательно, в точке $x_0$ экстремума нет (это точка перегиба с горизонтальной касательной).

Ответ: Доказательство достаточных условий экстремума основано на анализе знака приращения функции $f(x) - f(x_0)$ в окрестности стационарной точки $x_0$ с помощью формулы Тейлора. Знак приращения определяется знаком первого ненулевого члена разложения. Если порядок $n$ первой ненулевой производной в точке $x_0$ является четным числом, то в этой точке наблюдается экстремум (минимум при $f^{(n)}(x_0) > 0$ и максимум при $f^{(n)}(x_0) < 0$). Если же порядок $n$ нечетный, то экстремума в точке $x_0$ нет. Детальное доказательство для случая $n=2$ и обобщение на высшие порядки представлены выше.

13. Дать определение производной второго порядка.

Пусть функция $y = f(x)$ является дифференцируемой на некотором интервале. Тогда ее производная $y' = f'(x)$ сама является функцией, определенной на этом же интервале. Если функция $f'(x)$ также дифференцируема, то ее производную называют производной второго порядка (или второй производной) функции $f(x)$.

Таким образом, по определению, вторая производная — это производная от первой производной:

$f''(x) = (f'(x))'$

Для обозначения второй производной функции $y = f(x)$ используют следующие символы: $y''$, $f''(x)$, а также $\frac{d^2y}{dx^2}$ или $\frac{d^2f}{dx^2}$ (обозначения Лейбница).

Используя определение производной через предел, можно записать формальное определение второй производной:

$f''(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f'(x + \Delta x) - f'(x)}{\Delta x}$

Вторая производная имеет важный физический и геометрический смысл.

Физический смысл второй производной заключается в описании ускорения. Если закон движения материальной точки задан функцией $s(t)$, где $s$ — координата, а $t$ — время, то первая производная $s'(t)$ представляет собой мгновенную скорость $v(t)$, а вторая производная $s''(t)$ — мгновенное ускорение $a(t)$. То есть, $a(t) = v'(t) = s''(t)$, что показывает, насколько быстро изменяется скорость.

Геометрический смысл второй производной связан с формой графика функции. Знак второй производной определяет направление выпуклости (вогнутости) кривой. Если на некотором интервале $f''(x) > 0$, график функции является вогнутым (или выпуклым вниз). Если же $f''(x) < 0$, то график является выпуклым (или выпуклым вверх). Точки, где направление выпуклости меняется, называются точками перегиба.

Рассмотрим пример. Найдем вторую производную для функции $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 1$.

Сначала найдем первую производную: $f'(x) = (x^3 - 2x^2 + 5x - 1)' = 3x^2 - 4x + 5$.

Затем найдем производную от полученной функции: $f''(x) = (3x^2 - 4x + 5)' = 6x - 4$.

Ответ: Производной второго порядка функции $f(x)$ называется производная от ее первой производной, то есть $(f'(x))'$. Обозначается как $f''(x)$ или $\frac{d^2f}{dx^2}$.

14. Сформулировать определение выпуклости вверх (вниз) функции.

Определение выпуклости функции вниз (вогнутости)

Функция $y = f(x)$ называется выпуклой вниз (или вогнутой) на интервале $(a, b)$, если для любых двух точек $x_1, x_2$ из этого интервала и для любого числа $\alpha \in [0, 1]$ выполняется неравенство (неравенство Йенсена):

$f(\alpha x_1 + (1-\alpha) x_2) \le \alpha f(x_1) + (1-\alpha) f(x_2)$

Геометрический смысл: График выпуклой вниз функции на интервале $(a, b)$ расположен не выше любой своей хорды. Хордой называется отрезок, соединяющий две любые точки графика $(x_1, f(x_1))$ и $(x_2, f(x_2))$, где $x_1, x_2 \in (a, b)$.

Критерии для дифференцируемых функций:

• Если функция $f(x)$ дифференцируема на $(a, b)$, то она выпукла вниз тогда и только тогда, когда ее производная $f'(x)$ является неубывающей функцией на этом интервале. Геометрически это означает, что касательная к графику в любой точке лежит не выше самого графика.
• Если функция $f(x)$ дважды дифференцируема на $(a, b)$, то она выпукла вниз на этом интервале тогда и только тогда, когда ее вторая производная неотрицательна: $f''(x) \ge 0$ для всех $x \in (a, b)$.

Если указанное выше неравенство является строгим ($<$) для любых различных $x_1, x_2$ и любого $\alpha \in (0, 1)$, то функция называется строго выпуклой вниз.

Ответ: Функция $f(x)$ называется выпуклой вниз на интервале $(a, b)$, если для любых $x_1, x_2 \in (a, b)$ и для любого $\alpha \in [0, 1]$ выполняется неравенство $f(\alpha x_1 + (1-\alpha) x_2) \le \alpha f(x_1) + (1-\alpha) f(x_2)$.

Определение выпуклости функции вверх (выпуклости)

Функция $y = f(x)$ называется выпуклой вверх (или просто выпуклой в некоторой терминологии) на интервале $(a, b)$, если для любых двух точек $x_1, x_2$ из этого интервала и для любого числа $\alpha \in [0, 1]$ выполняется неравенство:

$f(\alpha x_1 + (1-\alpha) x_2) \ge \alpha f(x_1) + (1-\alpha) f(x_2)$

Геометрический смысл: График выпуклой вверх функции на интервале $(a, b)$ расположен не ниже любой своей хорды.

Критерии для дифференцируемых функций:

• Если функция $f(x)$ дифференцируема на $(a, b)$, то она выпукла вверх тогда и только тогда, когда ее производная $f'(x)$ является невозрастающей функцией на этом интервале. Геометрически это означает, что касательная к графику в любой точке лежит не ниже самого графика.
• Если функция $f(x)$ дважды дифференцируема на $(a, b)$, то она выпукла вверх на этом интервале тогда и только тогда, когда ее вторая производная неположительна: $f''(x) \le 0$ для всех $x \in (a, b)$.

Если указанное выше неравенство является строгим ($>$) для любых различных $x_1, x_2$ и любого $\alpha \in (0, 1)$, то функция называется строго выпуклой вверх.

Ответ: Функция $f(x)$ называется выпуклой вверх на интервале $(a, b)$, если для любых $x_1, x_2 \in (a, b)$ и для любого $\alpha \in [0, 1]$ выполняется неравенство $f(\alpha x_1 + (1-\alpha) x_2) \ge \alpha f(x_1) + (1-\alpha) f(x_2)$.

15. Дать определение точке перегиба функции.

Точка перегиба – это точка на графике непрерывной функции, в которой меняется направление её выпуклости. Геометрически это означает, что в этой точке касательная к графику "пронизывает" его, а сама кривая переходит с одной стороны касательной на другую.

Более строго, точка с абсциссой $x_0$ является точкой перегиба для функции $f(x)$, если выполняются следующие условия:

1. Функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$.
2. В точке $x_0$ у графика функции существует касательная (конечная или вертикальная).
3. При переходе через точку $x_0$ функция меняет направление выпуклости. То есть существует такая окрестность $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$, что на одном из интервалов, $(x_0 - \delta, x_0)$ или $(x_0, x_0 + \delta)$, функция является выпуклой вверх (вогнутой), а на другом — выпуклой вниз (выпуклой).

Направление выпуклости функции на интервале связано со знаком её второй производной $f''(x)$:

• Если $f''(x) > 0$ на интервале, то график функции на этом интервале выпуклый вниз (вогнутый).
• Если $f''(x) < 0$ на интервале, то график функции на этом интервале выпуклый вверх (выпуклый).

Поскольку в точке перегиба $x_0$ происходит смена направления выпуклости, это означает, что вторая производная $f''(x)$ должна менять знак при переходе через $x_0$.

Необходимое условие перегиба:
Если функция $f(x)$ дважды дифференцируема в точке $x_0$ и эта точка является точкой перегиба, то её вторая производная в этой точке равна нулю: $f''(x_0) = 0$.

Примечание: Условие $f''(x_0) = 0$ не является достаточным. Кроме того, перегиб может быть и в точке, где вторая производная не существует. Точки, в которых $f''(x) = 0$ или $f''(x)$ не существует, называются критическими точками второго рода и являются "кандидатами" на перегиб.

Достаточное условие перегиба:
Если функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, и её вторая производная $f''(x)$ при переходе через точку $x_0$ меняет знак, то $x_0$ — точка перегиба функции $f(x)$.

Ответ: Точка перегиба графика функции — это точка, отделяющая участок выпуклости графика от участка вогнутости. Формально, это точка $x_0$, в которой функция непрерывна и ее вторая производная $f''(x)$ меняет знак. Если вторая производная в этой точке существует, то она обязательно равна нулю ($f''(x_0)=0$).

16. Как с помощью второй производной выяснить, является ли функция выпуклой вверх (вниз) на интервале; имеет ли точку перегиба?

Как с помощью второй производной выяснить, является ли функция выпуклой вверх (вниз) на интервале

Вторая производная функции, $f''(x)$, показывает скорость изменения первой производной $f'(x)$, которая, в свою очередь, определяет наклон касательной к графику функции. Знак второй производной позволяет судить об изгибе (направлении выпуклости) графика функции.

Пусть функция $f(x)$ дважды дифференцируема на некотором интервале $I$.

• Если для всех $x$ из интервала $I$ выполняется неравенство $f''(x) > 0$, то график функции на этом интервале является выпуклым вниз (также говорят "вогнутым"). Геометрически это означает, что график функции расположен выше любой своей касательной на этом интервале (за исключением точки касания).
• Если для всех $x$ из интервала $I$ выполняется неравенство $f''(x) < 0$, то график функции на этом интервале является выпуклым вверх. Геометрически это означает, что график функции расположен ниже любой своей касательной на этом интервале (за исключением точки касания).

Для нахождения интервалов выпуклости функции используется следующий алгоритм:

1. Найти область определения функции $f(x)$.
2. Найти вторую производную $f''(x)$.
3. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю ($f''(x) = 0$) или не существует.
4. Отметить эти точки на числовой оси, разбив тем самым область определения на интервалы постоянства знака $f''(x)$.
5. Определить знак второй производной $f''(x)$ на каждом из полученных интервалов (например, подставив в $f''(x)$ любую пробную точку из интервала).
6. Сделать вывод о направлении выпуклости на каждом интервале на основании знака $f''(x)$.

Ответ: Если на интервале вторая производная $f''(x) > 0$, то функция выпукла вниз (вогнута). Если на интервале $f''(x) < 0$, то функция выпукла вверх.

Как с помощью второй производной выяснить, имеет ли функция точку перегиба

Точка перегиба – это точка на графике непрерывной функции, при переходе через которую меняется направление ее выпуклости (то есть выпуклость вверх сменяется выпуклостью вниз, или наоборот).

Для нахождения точек перегиба используются необходимое и достаточное условия.

• Необходимое условие точки перегиба. Если $x_0$ – абсцисса точки перегиба графика функции $f(x)$, то ее вторая производная в этой точке либо равна нулю ($f''(x_0) = 0$), либо не существует. Точки, удовлетворяющие этому условию, являются "кандидатами" на точки перегиба.
• Достаточное условие точки перегиба. Пусть функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$. Если при переходе через точку $x_0$ ее вторая производная $f''(x)$ меняет знак, то точка с координатами $(x_0, f(x_0))$ является точкой перегиба графика функции.

Алгоритм нахождения точек перегиба:

1. Найти область определения функции $f(x)$.
2. Найти вторую производную $f''(x)$.
3. Найти точки из области определения, в которых $f''(x) = 0$ или $f''(x)$ не существует (кандидаты на точки перегиба).
4. Исследовать знак второй производной $f''(x)$ в окрестностях каждой найденной точки (слева и справа от нее).
5. Если при переходе через точку $x_0$ знак $f''(x)$ меняется, то $x_0$ является абсциссой точки перегиба. Для нахождения самой точки перегиба нужно вычислить ее ординату $y_0 = f(x_0)$.

Ответ: Функция имеет точку перегиба в точке $x_0$, если она непрерывна в этой точке и ее вторая производная $f''(x)$ меняет знак при переходе через $x_0$. При этом в самой точке $x_0$ вторая производная должна быть равна нулю или не существовать.

17. Пояснить геометрический смысл теоремы Лагранжа.

Теорема Лагранжа (или теорема о среднем значении) является одной из ключевых теорем в дифференциальном исчислении. Её геометрический смысл очень нагляден.

Сначала приведем формулировку теоремы. Если функция $y=f(x)$ удовлетворяет двум условиям:
1. непрерывна на замкнутом отрезке $[a, b]$;
2. дифференцируема на открытом интервале $(a, b)$;
тогда на интервале $(a, b)$ существует по крайней мере одна точка $c$ (то есть $a < c < b$), для которой выполняется следующее равенство:
$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Для того чтобы понять геометрический смысл, давайте разберем обе части этого равенства с точки зрения геометрии на графике функции $y=f(x)$.

Геометрический смысл правой части: $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$
Рассмотрим точки $A$ с координатами $(a, f(a))$ и $B$ с координатами $(b, f(b))$. Это начальная и конечная точки дуги графика функции на отрезке $[a, b]$. Прямая, которая проходит через эти две точки, называется секущей. Выражение $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ — это в точности угловой коэффициент этой секущей. Он равен тангенсу угла, который секущая $AB$ образует с положительным направлением оси Ox. Эта величина также характеризует среднюю скорость изменения функции на отрезке $[a, b]$.

Геометрический смысл левой части: $f'(c)$
Из определения производной известно, что ее значение в точке $c$, то есть $f'(c)$, равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $c$. Эта величина характеризует мгновенную скорость изменения функции в точке $c$.

Общая геометрическая интерпретация
Равенство $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ означает, что угловой коэффициент касательной в точке $c$ равен угловому коэффициенту секущей, проходящей через точки $A$ и $B$. Поскольку прямые с равными угловыми коэффициентами параллельны, теорему Лагранжа можно сформулировать так:
На дуге графика функции, удовлетворяющей условиям теоремы, найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику параллельна хорде (секущей), соединяющей концы этой дуги.

Проще говоря, если вы нарисуете гладкую непрерывную кривую от одной точки до другой, то где-то на этой кривой обязательно найдется точка, в которой наклон кривой будет точно таким же, как наклон прямой линии, соединяющей начальную и конечную точки.

Ответ: Геометрический смысл теоремы Лагранжа заключается в том, что если график функции $y=f(x)$ на отрезке $[a, b]$ является гладкой кривой (непрерывной и не имеющей изломов), то на этой кривой найдется по крайней мере одна точка $C(c, f(c))$, где $c \in (a, b)$, в которой касательная к графику параллельна хорде, соединяющей конечные точки дуги $A(a, f(a))$ и $B(b, f(b))$.

18. При каком условии прямая $y = kx + b$ является асимптотой графика функции $y = f(x)$ при $x \to +\infty$?

Прямая $y = kx + b$ является асимптотой графика функции $y = f(x)$ при $x \to +\infty$, если по определению расстояние между графиком функции и этой прямой стремится к нулю при неограниченном возрастании $x$. Математически это условие записывается как равенство нулю предела разности их ординат: $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (kx + b)] = 0$.

Это основное условие является необходимым и достаточным. Оно выполняется тогда и только тогда, когда существуют и являются конечными числами следующие два предела, которые последовательно определяют коэффициенты $k$ и $b$ для уравнения асимптоты:

1. Предел для нахождения углового коэффициента асимптоты $k$:
$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$

2. Предел для нахождения свободного члена (сдвига по оси ординат) $b$:
$b = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - kx)$

Если оба этих предела существуют и конечны, то прямая $y = kx + b$ является наклонной асимптотой (или горизонтальной, если $k=0$). Если хотя бы один из пределов не существует или равен бесконечности, то наклонной асимптоты при $x \to +\infty$ у графика функции нет.

Ответ: Прямая $y=kx+b$ является асимптотой графика функции $y=f(x)$ при $x \to +\infty$ при условии, что существуют и являются конечными числами следующие два предела:
$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$
$b = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - kx)$

1. Найти промежутки монотонности функции:

1) $y = 2x^2 - 5x;$

2) $y = -\sqrt{x+4}.$

1) $y = 2x^2 - 5x$

Чтобы найти промежутки монотонности, необходимо исследовать знак производной функции.

Шаг 1: Найти область определения функции.
Данная функция является многочленом (квадратичной функцией), поэтому она определена для всех действительных чисел.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Шаг 2: Найти производную функции.
$y' = (2x^2 - 5x)' = (2x^2)' - (5x)' = 4x - 5$.

Шаг 3: Найти критические точки.
Критические точки — это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Производная $y' = 4x - 5$ существует на всей области определения.
Приравняем производную к нулю:
$4x - 5 = 0$
$4x = 5$
$x = \frac{5}{4} = 1.25$.
Это единственная критическая точка.

Шаг 4: Определить знаки производной на интервалах.
Критическая точка $x = 1.25$ делит числовую ось на два интервала: $(-\infty; 1.25)$ и $(1.25; +\infty)$.
- Для интервала $(-\infty; 1.25)$, выберем пробную точку $x=0$. Подставим в производную: $y'(0) = 4(0) - 5 = -5$. Так как $y' < 0$, функция на этом интервале убывает.
- Для интервала $(1.25; +\infty)$, выберем пробную точку $x=2$. Подставим в производную: $y'(2) = 4(2) - 5 = 3$. Так как $y' > 0$, функция на этом интервале возрастает.

Таким образом, функция убывает при $x \in (-\infty; 1.25]$ и возрастает при $x \in [1.25; +\infty)$.
Заметим, что график функции $y = 2x^2 - 5x$ — это парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше нуля). Вершина параболы является точкой минимума. Координата $x$ вершины находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4} = 1.25$. До вершины парабола убывает, после — возрастает, что подтверждает наш результат.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 1.25]$ и возрастает на промежутке $[1.25; +\infty)$.

2) $y = -\sqrt{x+4}$

Проведем исследование функции на монотонность с помощью производной.

Шаг 1: Найти область определения функции.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4$.
Следовательно, область определения $D(y) = [-4; +\infty)$.

Шаг 2: Найти производную функции.
Используем правило дифференцирования сложной функции:
$y' = (-\sqrt{x+4})' = -( (x+4)^{\frac{1}{2}} )' = -\frac{1}{2}(x+4)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (x+4)' = -\frac{1}{2}(x+4)^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{x+4}}$.

Шаг 3: Найти критические точки.
Производная $y' = -\frac{1}{2\sqrt{x+4}}$ не может быть равна нулю, так как ее числитель равен -1.
Производная не существует, когда знаменатель равен нулю:
$2\sqrt{x+4} = 0 \implies x = -4$.
Точка $x = -4$ принадлежит области определения функции, поэтому это критическая точка.

Шаг 4: Определить знаки производной на интервалах.
Мы должны определить знак производной на интервале $(-4; +\infty)$.
Для любого $x > -4$, выражение $\sqrt{x+4}$ положительно. Значит, знаменатель $2\sqrt{x+4}$ также всегда положителен.
Так как числитель дроби равен -1 (отрицателен), а знаменатель положителен, вся дробь $y' = -\frac{1}{2\sqrt{x+4}}$ будет отрицательной для всех $x \in (-4; +\infty)$.

Поскольку производная функции отрицательна на всем интервале $(-4; +\infty)$, функция является строго убывающей на всей своей области определения.
Это можно также понять, проанализировав график. График $y=\sqrt{x}$ является возрастающей функцией. График $y=\sqrt{x+4}$ получается сдвигом графика $y=\sqrt{x}$ на 4 единицы влево, он также возрастающий. График $y=-\sqrt{x+4}$ получается отражением графика $y=\sqrt{x+4}$ относительно оси Ox, что меняет характер монотонности на противоположный. Таким образом, функция $y=-\sqrt{x+4}$ является убывающей.

Ответ: функция убывает на промежутке $[-4; +\infty)$.

2. Найти точки экстремума функции $y = x^4 - 4x^3 + 20$ и значения функции в этих точках.

Для нахождения точек экстремума функции $y = x^4 - 4x^3 + 20$ и значений функции в этих точках, необходимо выполнить следующие действия.

1. Нахождение производной функции

Сначала найдем первую производную функции $y(x)$. Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), так как это многочлен.

$y' = (x^4 - 4x^3 + 20)' = 4x^{3} - 4 \cdot 3x^{2} + 0 = 4x^3 - 12x^2$.

2. Нахождение критических точек

Критические точки — это точки из области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует. Так как производная $y' = 4x^3 - 12x^2$ существует при любых значениях $x$, найдем точки, в которых она обращается в ноль.

$y' = 0 \implies 4x^3 - 12x^2 = 0$.

Вынесем общий множитель $4x^2$ за скобки:

$4x^2(x - 3) = 0$.

Данное уравнение имеет два решения:

$4x^2 = 0 \implies x_1 = 0$.

$x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$.

Таким образом, мы получили две критические точки: $x = 0$ и $x = 3$.

3. Исследование знака производной и определение точек экстремума

Исследуем знак производной $y'$ на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось: $(-\infty; 0)$, $(0; 3)$ и $(3; +\infty)$.

— На интервале $(-\infty; 0)$ возьмем пробную точку $x = -1$.
$y'(-1) = 4(-1)^2(-1 - 3) = 4 \cdot 1 \cdot (-4) = -16 < 0$. Функция на этом интервале убывает.

— На интервале $(0; 3)$ возьмем пробную точку $x = 1$.
$y'(1) = 4(1)^2(1 - 3) = 4 \cdot 1 \cdot (-2) = -8 < 0$. Функция на этом интервале также убывает.

— На интервале $(3; +\infty)$ возьмем пробную точку $x = 4$.
$y'(4) = 4(4)^2(4 - 3) = 4 \cdot 16 \cdot 1 = 64 > 0$. Функция на этом интервале возрастает.

Теперь проанализируем поведение функции в критических точках:

— При переходе через точку $x = 0$ производная не меняет свой знак (с «–» на «–»). Следовательно, в точке $x = 0$ экстремума нет.

— При переходе через точку $x = 3$ производная меняет свой знак с «–» на «+». Следовательно, в точке $x = 3$ функция имеет локальный минимум.

4. Вычисление значения функции в точке экстремума

Мы установили, что у функции есть одна точка экстремума — точка минимума $x = 3$. Вычислим значение функции в этой точке:

$y(3) = 3^4 - 4 \cdot 3^3 + 20 = 81 - 4 \cdot 27 + 20 = 81 - 108 + 20 = -7$.

Ответ: единственная точка экстремума функции — это точка минимума $x = 3$. Значение функции в этой точке равно $y(3)=-7$.

3. Построить график функции $y = x^3 + 3x^2 - 4$.

Для построения графика функции $y = x^3 + 3x^2 - 4$ проведем ее полное исследование по шагам.

1. Область определения функции

Данная функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных значений аргумента $x$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат

Пересечение с осью ординат (Oy):
Для нахождения точки пересечения с осью Oy подставим $x=0$ в уравнение функции:
$y(0) = 0^3 + 3 \cdot 0^2 - 4 = -4$.
Таким образом, график пересекает ось Oy в точке $(0, -4)$.

Пересечение с осью абсцисс (Ox):
Для нахождения точек пересечения с осью Ox приравняем функцию к нулю: $y=0$.
$x^3 + 3x^2 - 4 = 0$.
Это кубическое уравнение. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена $(-4)$: $\pm1, \pm2, \pm4$.
Проверим $x=1$: $1^3 + 3 \cdot 1^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$. Следовательно, $x=1$ является корнем уравнения.
Это означает, что многочлен $(x^3 + 3x^2 - 4)$ делится на $(x-1)$ без остатка. Выполним деление (например, столбиком или по схеме Горнера):
$(x^3 + 3x^2 - 4) : (x-1) = x^2 + 4x + 4$.
Теперь уравнение можно представить в виде: $(x-1)(x^2 + 4x + 4) = 0$.
Квадратный трехчлен $x^2 + 4x + 4$ является полным квадратом: $(x+2)^2$.
Уравнение принимает вид: $(x-1)(x+2)^2 = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 1$ (корень кратности 1) и $x_2 = -2$ (корень кратности 2).
Таким образом, график пересекает ось Ox в точке $(1, 0)$ и касается оси Ox в точке $(-2, 0)$.

Ответ: Точка пересечения с осью Oy: $(0, -4)$. Точки пересечения с осью Ox: $(1, 0)$ и $(-2, 0)$.

3. Исследование на четность и нечетность

Проверим, выполняется ли условие четности $y(-x) = y(x)$ или нечетности $y(-x) = -y(x)$.
$y(-x) = (-x)^3 + 3(-x)^2 - 4 = -x^3 + 3x^2 - 4$.
Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: Функция является функцией общего вида (ни четная, ни нечетная).

4. Нахождение экстремумов и промежутков монотонности

Найдем первую производную функции:
$y' = (x^3 + 3x^2 - 4)' = 3x^2 + 6x$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$3x^2 + 6x = 0$
$3x(x+2) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -2$.
Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$ и $(0, +\infty)$. Определим знак производной на каждом интервале:
- При $x \in (-\infty, -2)$ (например, $x=-3$): $y'(-3) = 3(-3)^2 + 6(-3) = 27 - 18 = 9 > 0$. Функция возрастает.
- При $x \in (-2, 0)$ (например, $x=-1$): $y'(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) = 3 - 6 = -3 < 0$. Функция убывает.
- При $x \in (0, +\infty)$ (например, $x=1$): $y'(1) = 3(1)^2 + 6(1) = 9 > 0$. Функция возрастает.
В точке $x=-2$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка локального максимума. Значение функции в этой точке: $y_{max} = y(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 4 = -8 + 12 - 4 = 0$.
В точке $x=0$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка локального минимума. Значение функции в этой точке: $y_{min} = y(0) = 0^3 + 3(0)^2 - 4 = -4$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[0, +\infty)$, убывает на промежутке $[-2, 0]$. Точка максимума: $(-2, 0)$. Точка минимума: $(0, -4)$.

5. Нахождение точек перегиба и промежутков выпуклости/вогнутости

Найдем вторую производную функции:
$y'' = (3x^2 + 6x)' = 6x + 6$.
Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю:
$6x + 6 = 0 \implies x = -1$.
Эта точка делит числовую ось на два интервала: $(-\infty, -1)$ и $(-1, +\infty)$. Определим знак второй производной на каждом из них:
- При $x \in (-\infty, -1)$ (например, $x=-2$): $y''(-2) = 6(-2) + 6 = -6 < 0$. На этом интервале график функции выпуклый вверх (вогнутый).
- При $x \in (-1, +\infty)$ (например, $x=0$): $y''(0) = 6(0) + 6 = 6 > 0$. На этом интервале график функции выпуклый вниз.
Поскольку в точке $x=-1$ вторая производная меняет знак, это точка перегиба. Найдем ординату этой точки: $y(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 4 = -1 + 3 - 4 = -2$.

Ответ: График функции является выпуклым вверх на промежутке $(-\infty, -1]$ и выпуклым вниз на промежутке $[-1, +\infty)$. Точка перегиба имеет координаты $(-1, -2)$.

6. Построение графика

На основе полученных данных можно построить график. Сведем ключевые точки и интервалы в таблицу для наглядности.

Для построения графика нанесем на координатную плоскость найденные точки: точку максимума $(-2, 0)$, точку минимума $(0, -4)$, точку перегиба $(-1, -2)$ и точку пересечения с осью Ox $(1, 0)$. Соединим эти точки плавной кривой, учитывая интервалы возрастания/убывания и направления выпуклости.

Ответ: График функции $y = x^3 + 3x^2 - 4$ представляет собой кубическую параболу. Он начинается в третьей координатной четверти, возрастает до точки максимума $(-2, 0)$, где касается оси Ox. Затем график убывает, меняя выпуклость с верхней на нижнюю в точке перегиба $(-1, -2)$, и достигает точки минимума $(0, -4)$. После этого график снова возрастает, пересекает ось Ox в точке $(1, 0)$ и уходит в бесконечность в первой координатной четверти.

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=x+\frac{9}{x}$ на отрезке $[1; 4]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом отрезке необходимо найти значения функции на концах этого отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку. Затем следует сравнить полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Заданная функция: $f(x) = x + \frac{9}{x}$ на отрезке $[1; 4]$.

1. Найдем производную функции.
$f'(x) = (x + \frac{9}{x})' = (x)' + (9x^{-1})' = 1 - 9x^{-2} = 1 - \frac{9}{x^2}$.

2. Найдем критические точки функции.
Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует.
Производная $f'(x) = 1 - \frac{9}{x^2}$ не существует при $x=0$. Эта точка не входит в область определения функции и в заданный отрезок $[1; 4]$.
Приравняем производную к нулю:
$f'(x) = 0 \implies 1 - \frac{9}{x^2} = 0$
$1 = \frac{9}{x^2}$
$x^2 = 9$
$x = 3$ или $x = -3$.
Из найденных точек только $x=3$ принадлежит отрезку $[1; 4]$.

3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка.
Следовательно, для нахождения наибольшего и наименьшего значений нам нужно сравнить значения функции в трех точках: $x=1$, $x=3$ и $x=4$.
- При $x=1$ (левая граница отрезка): $f(1) = 1 + \frac{9}{1} = 10$.
- При $x=3$ (критическая точка): $f(3) = 3 + \frac{9}{3} = 3 + 3 = 6$.
- При $x=4$ (правая граница отрезка): $f(4) = 4 + \frac{9}{4} = 4 + 2.25 = 6.25$.

4. Сравним полученные значения.
Мы получили три значения: $10$, $6$ и $6.25$.
Наибольшее из этих значений равно $10$.
Наименьшее из этих значений равно $6$.

Ответ: наибольшее значение функции на отрезке $[1; 4]$ равно 10, а наименьшее значение равно 6.

5. Отливка объёмом $72 \text{ дм}^3$ имеет форму прямоугольного параллелепипеда с отношением сторон основания $1:2$. При каких размерах отливки площадь её полной поверхности будет наименьшей?

Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны $a$ и $b$, а его высота — $h$. Согласно условию задачи, отливка имеет объем $V = 72 \text{ дм}^3$ и отношение сторон основания $1:2$.

Примем, что $a$ — меньшая сторона основания. Тогда можно записать: $a = x$ $b = 2x$ где $x$ — положительная величина.

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot h$. Подставим наши значения: $72 = x \cdot (2x) \cdot h$ $72 = 2x^2h$ Отсюда выразим высоту $h$ через $x$: $h = \frac{72}{2x^2} = \frac{36}{x^2}$.

Теперь запишем формулу для площади полной поверхности параллелепипеда $S$: $S = 2(ab + ah + bh)$ Подставим в нее выражения для $a$, $b$ и $h$ через $x$, чтобы получить функцию площади $S(x)$: $S(x) = 2(x \cdot 2x + x \cdot \frac{36}{x^2} + 2x \cdot \frac{36}{x^2})$ $S(x) = 2(2x^2 + \frac{36}{x} + \frac{72}{x})$ $S(x) = 2(2x^2 + \frac{108}{x})$ $S(x) = 4x^2 + \frac{216}{x}$

Чтобы найти размеры, при которых площадь поверхности будет наименьшей, нам нужно найти минимум функции $S(x)$. Для этого найдем ее производную $S'(x)$ и приравняем ее к нулю. $S'(x) = \left(4x^2 + \frac{216}{x}\right)' = (4x^2)' + (216x^{-1})' = 8x - 216x^{-2} = 8x - \frac{216}{x^2}$.

Найдем критические точки, решив уравнение $S'(x)=0$: $8x - \frac{216}{x^2} = 0$ Так как $x$ — это длина стороны, то $x>0$. Умножим обе части уравнения на $x^2$: $8x^3 - 216 = 0$ $8x^3 = 216$ $x^3 = \frac{216}{8}$ $x^3 = 27$ $x = \sqrt[3]{27} = 3$.

Чтобы убедиться, что $x=3$ является точкой минимума, проверим знак второй производной $S''(x)$: $S''(x) = \left(8x - 216x^{-2}\right)' = 8 - (-2) \cdot 216x^{-3} = 8 + \frac{432}{x^3}$. При $x=3$, значение второй производной $S''(3) = 8 + \frac{432}{3^3} = 8 + \frac{432}{27} = 8 + 16 = 24$. Поскольку $S''(3) > 0$, точка $x=3$ является точкой минимума функции $S(x)$.

Теперь, зная $x$, мы можем найти размеры отливки:

• Меньшая сторона основания: $a = x = 3 \text{ дм}$.
• Большая сторона основания: $b = 2x = 2 \cdot 3 = 6 \text{ дм}$.
• Высота: $h = \frac{36}{x^2} = \frac{36}{3^2} = \frac{36}{9} = 4 \text{ дм}$.

Ответ: Наименьшая площадь полной поверхности будет при размерах отливки 3 дм, 6 дм и 4 дм.

1. При каких значениях а функция $y = x^3 + 3ax$ возрастает на всей числовой прямой?

Для того чтобы функция $y = x^3 + 3ax$ возрастала на всей числовой прямой, ее производная должна быть неотрицательной для всех действительных значений $x$.

Находим производную функции.
Дана функция $y(x) = x^3 + 3ax$. Ее производная по $x$ равна: $y'(x) = (x^3)' + (3ax)' = 3x^2 + 3a$.

Анализируем условие возрастания.
Условие возрастания функции на всей числовой прямой: $y'(x) \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Подставляем выражение для производной и получаем неравенство: $3x^2 + 3a \ge 0$.

Решаем полученное неравенство.
Разделим обе части на 3: $x^2 + a \ge 0$.

Это неравенство должно выполняться для любого значения $x$. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), его наименьшее значение равно 0 (достигается при $x=0$).
Чтобы сумма $x^2 + a$ была всегда неотрицательной, необходимо, чтобы при наименьшем значении $x^2$ (то есть при $x^2=0$) неравенство выполнялось. Подставляя $x=0$, получаем: $0 + a \ge 0$,
что равносильно $a \ge 0$.

Другой подход — рассмотреть $x^2 + a$ как квадратный трехчлен относительно $x$. Его график — парабола с ветвями вверх. Эта парабола будет целиком лежать не ниже оси абсцисс (то есть $x^2+a \ge 0$) только в том случае, если она имеет не более одной точки пересечения с этой осью. Это означает, что дискриминант соответствующего квадратного уравнения $x^2 + a = 0$ должен быть неположительным ($D \le 0$).
В уравнении $x^2 + 0 \cdot x + a = 0$ дискриминант $D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = -4a$.
Решаем неравенство $D \le 0$: $-4a \le 0$.
Разделив обе части на -4 и изменив знак неравенства на противоположный, получаем: $a \ge 0$.

Таким образом, функция возрастает на всей числовой прямой при $a \ge 0$.

Ответ: $a \ge 0$.

2. Построить график функции

$y = x + \frac{4}{x}$

Для построения графика функции $y = x + \frac{4}{x}$ проведем полное исследование функции.

1. Область определения функции

Функция определена для всех действительных чисел $x$, кроме тех, при которых знаменатель дроби обращается в ноль. В данном случае знаменатель равен $x$.

$x \neq 0$

Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: Область определения функции $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность и нечетность функции

Проверим, является ли функция четной или нечетной. Для этого найдем $y(-x)$:

$y(-x) = (-x) + \frac{4}{(-x)} = -x - \frac{4}{x} = -(x + \frac{4}{x}) = -y(x)$

Поскольку выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Это означает, что ее график симметричен относительно начала координат.

Ответ: Функция нечетная.

3. Точки пересечения с осями координат

• Пересечение с осью Oy (осью ординат): для этого нужно подставить $x=0$ в уравнение функции. Однако $x=0$ не входит в область определения, поэтому график не пересекает ось Oy.

• Пересечение с осью Ox (осью абсцисс): для этого нужно приравнять $y$ к нулю: $y=0$.

$x + \frac{4}{x} = 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{x^2 + 4}{x} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4$

Это уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, график не пересекает ось Ox.

Ответ: Точек пересечения с осями координат нет.

4. Асимптоты

• Вертикальные асимптоты. Они могут существовать в точках разрыва. У нас такая точка одна: $x=0$. Найдем односторонние пределы:

$\lim_{x \to 0^+} (x + \frac{4}{x}) = 0 + \frac{4}{+0} = +\infty$

$\lim_{x \to 0^-} (x + \frac{4}{x}) = 0 + \frac{4}{-0} = -\infty$

Так как пределы равны бесконечности, прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой.

• Наклонные асимптоты. Ищем асимптоту в виде прямой $y = kx + b$.

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x + 4/x}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (1 + \frac{4}{x^2}) = 1 + 0 = 1$

$b = \lim_{x \to \pm\infty} (y(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} (x + \frac{4}{x} - 1 \cdot x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4}{x} = 0$

Таким образом, прямая $y = 1x + 0$, то есть $y=x$, является наклонной асимптотой при $x \to +\infty$ и при $x \to -\infty$. Горизонтальных асимптот нет.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x=0$. Наклонная асимптота: $y=x$.

5. Интервалы монотонности и точки экстремума

Найдем первую производную функции:

$y' = (x + \frac{4}{x})' = (x + 4x^{-1})' = 1 - 4x^{-2} = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2}$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$\frac{x^2 - 4}{x^2} = 0 \implies x^2 - 4 = 0 \implies (x-2)(x+2) = 0$

Критические точки: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

Исследуем знак производной на интервалах, на которые область определения разбивается критическими точками: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$, $(2; +\infty)$.

• На $(-\infty; -2)$: $y' > 0$, функция возрастает.

• На $(-2; 0)$: $y' < 0$, функция убывает.

• На $(0; 2)$: $y' < 0$, функция убывает.

• На $(2; +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x = -2$ производная меняет знак с "+" на "-", значит, это точка локального максимума. $y_{max} = y(-2) = -2 + \frac{4}{-2} = -4$. Точка максимума $(-2; -4)$.

В точке $x = 2$ производная меняет знак с "-" на "+", значит, это точка локального минимума. $y_{min} = y(2) = 2 + \frac{4}{2} = 4$. Точка минимума $(2; 4)$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[2; +\infty)$; убывает на промежутках $[-2; 0)$ и $(0; 2]$. Точка локального максимума $(-2; -4)$, точка локального минимума $(2; 4)$.

6. Направление выпуклости и точки перегиба

Найдем вторую производную:

$y'' = (1 - 4x^{-2})' = -4(-2)x^{-3} = \frac{8}{x^3}$

Вторая производная не равна нулю ни в одной точке. Знак $y''$ зависит от знака $x$.

• При $x \in (-\infty; 0)$, $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх.

• При $x \in (0; +\infty)$, $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (вогнутый).

Так как в точке $x=0$ (где меняется направление выпуклости) функция не определена, точек перегиба у графика нет.

Ответ: График выпуклый вверх на интервале $(-\infty; 0)$ и выпуклый вниз на интервале $(0; +\infty)$. Точек перегиба нет.

7. Построение графика

На основе проведенного анализа можно построить график.
График состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат.
Первая ветвь расположена в первом координатном квадранте. Она приближается к оси Oy слева, уходя в $+\infty$. Затем убывает до точки локального минимума $(2; 4)$, после чего возрастает, асимптотически приближаясь сверху к прямой $y=x$. Эта ветвь выпукла вниз.
Вторая ветвь расположена в третьем координатном квадранте. Она асимптотически приближается снизу к прямой $y=x$ при $x \to -\infty$, затем возрастает до точки локального максимума $(-2; -4)$, после чего убывает, уходя в $-\infty$ при приближении к оси Oy справа. Эта ветвь выпукла вверх.

Ответ: График функции представляет собой две ветви гиперболического типа, расположенные в I и III координатных четвертях. График симметричен относительно начала координат, имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и наклонную асимптоту $y=x$. Точка локального минимума - $(2; 4)$, точка локального максимума - $(-2; -4)$.

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=\frac{x^2}{e^x}$ на отрезке $[-1; 3]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо найти ее значения на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку. Наибольшее из этих значений будет наибольшим значением функции на отрезке, а наименьшее — наименьшим.

Дана функция $f(x) = \frac{x^2}{e^x}$ на отрезке $[-1; 3]$.

1. Найдем производную функции $f(x)$. По правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(x^2)' \cdot e^x - x^2 \cdot (e^x)'}{(e^x)^2} = \frac{2x \cdot e^x - x^2 \cdot e^x}{e^{2x}}$

Вынесем общий множитель $e^x$ в числителе и сократим дробь:

$f'(x) = \frac{e^x(2x - x^2)}{e^{2x}} = \frac{2x - x^2}{e^x}$

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю. Производная $f'(x)$ определена для всех $x$, поскольку $e^x > 0$.

$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{2x - x^2}{e^x} = 0$

Это равенство выполняется, когда числитель равен нулю:

$2x - x^2 = 0$

$x(2 - x) = 0$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

3. Проверим, принадлежат ли найденные критические точки отрезку $[-1; 3]$.

Обе точки, $x = 0$ и $x = 2$, принадлежат заданному отрезку.

4. Вычислим значения функции в критических точках ($x=0, x=2$) и на концах отрезка ($x=-1, x=3$).

При $x = -1$: $f(-1) = \frac{(-1)^2}{e^{-1}} = \frac{1}{1/e} = e$.

При $x = 0$: $f(0) = \frac{0^2}{e^0} = \frac{0}{1} = 0$.

При $x = 2$: $f(2) = \frac{2^2}{e^2} = \frac{4}{e^2}$.

При $x = 3$: $f(3) = \frac{3^2}{e^3} = \frac{9}{e^3}$.

5. Сравним полученные значения: $e$, $0$, $\frac{4}{e^2}$ и $\frac{9}{e^3}$.

Используя приближенное значение $e \approx 2.718$, имеем:

$f(-1) = e \approx 2.718$

$f(0) = 0$

$f(2) = \frac{4}{e^2} \approx \frac{4}{7.389} \approx 0.541$

$f(3) = \frac{9}{e^3} \approx \frac{9}{20.086} \approx 0.448$

Из этих значений видно, что наибольшее значение равно $e$ (при $x=-1$), а наименьшее равно $0$ (при $x=0$).

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-1; 3]$ равно $0$, наибольшее значение равно $e$.

4. Найти высоту конуса наименьшего объёма, описанного около сферы радиуса $R$.

Пусть $h$ — высота конуса, а $r$ — радиус его основания. Объём конуса $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Для того чтобы найти объём как функцию одной переменной, необходимо установить связь между $h$ и $r$. Эту связь можно найти, рассмотрев осевое сечение конуса и вписанной в него сферы. Сечением является равнобедренный треугольник, в который вписана окружность радиуса $R$.

Пусть осевое сечение — это треугольник $\triangle ABC$ с высотой $AD=h$ и основанием $BC=2r$. Центр вписанной сферы $O$ лежит на высоте $AD$. Радиус сферы $R$ — это радиус вписанной в треугольник окружности. Расстояние от центра $O$ до основания $BC$ равно $R$, то есть $OD=R$. Следовательно, расстояние от вершины конуса $A$ до центра сферы $O$ равно $AO = AD - OD = h - R$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ADC$ (образован высотой конуса, радиусом основания и образующей) и $\triangle AEO$ (образован отрезком $AO$, радиусом сферы $OE$, перпендикулярным образующей $AC$). Эти треугольники подобны, так как у них общий острый угол $\angle CAD$ и по одному прямому углу ($\angle ADC = 90^\circ$ и $\angle AEO = 90^\circ$).

Из подобия треугольников $\triangle AEO$ и $\triangle ADC$ следует соотношение их сторон:

$\frac{OE}{DC} = \frac{AO}{AC}$

Подставим известные величины: $OE = R$, $DC = r$, $AO = h - R$. Длина образующей $AC$ находится по теореме Пифагора из $\triangle ADC$: $AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{h^2 + r^2}$.

$\frac{R}{r} = \frac{h-R}{\sqrt{h^2 + r^2}}$

Чтобы избавиться от корня и выразить $r^2$ через $h$, возведём обе части уравнения в квадрат:

$\frac{R^2}{r^2} = \frac{(h-R)^2}{h^2 + r^2}$

$R^2(h^2 + r^2) = r^2(h-R)^2$

$R^2h^2 + R^2r^2 = r^2(h^2 - 2hR + R^2)$

$R^2h^2 + R^2r^2 = r^2h^2 - 2hRr^2 + R^2r^2$

$R^2h^2 = r^2h^2 - 2hRr^2$

$R^2h^2 = r^2(h^2 - 2hR) = r^2h(h - 2R)$

Высота конуса должна быть больше диаметра вписанной сферы, поэтому $h > 2R$. Это позволяет нам разделить обе части на $h(h-2R) \neq 0$:

$r^2 = \frac{R^2h}{h - 2R}$

Теперь подставим полученное выражение для $r^2$ в формулу объёма конуса:

$V(h) = \frac{1}{3}\pi \left( \frac{R^2h}{h-2R} \right) h = \frac{\pi R^2}{3} \cdot \frac{h^2}{h-2R}$

Чтобы найти высоту, при которой объём будет наименьшим, нужно исследовать функцию $V(h)$ на экстремум. Для этого найдём её производную по $h$ и приравняем к нулю.

$V'(h) = \frac{d}{dh} \left( \frac{\pi R^2}{3} \cdot \frac{h^2}{h-2R} \right) = \frac{\pi R^2}{3} \cdot \frac{d}{dh} \left( \frac{h^2}{h-2R} \right)$

Применяя правило дифференцирования частного, получаем:

$\frac{d}{dh} \left( \frac{h^2}{h-2R} \right) = \frac{(2h)(h-2R) - h^2(1)}{(h-2R)^2} = \frac{2h^2 - 4hR - h^2}{(h-2R)^2} = \frac{h^2 - 4hR}{(h-2R)^2} = \frac{h(h-4R)}{(h-2R)^2}$

Следовательно, производная объёма равна:

$V'(h) = \frac{\pi R^2}{3} \cdot \frac{h(h-4R)}{(h-2R)^2}$

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:

$\frac{h(h-4R)}{(h-2R)^2} = 0 \implies h(h-4R) = 0$

Отсюда $h=0$ или $h=4R$. Решение $h=0$ не имеет физического смысла. Учитывая условие $h>2R$, единственной подходящей критической точкой является $h=4R$.

Чтобы убедиться, что это точка минимума, исследуем знак производной $V'(h)$. Знаменатель $(h-2R)^2$ и множитель $h$ всегда положительны в рассматриваемой области $h>2R$. Знак производной зависит только от знака выражения $(h-4R)$.

При $2R < h < 4R$, выражение $(h-4R)$ отрицательно, поэтому $V'(h) < 0$, и функция объёма $V(h)$ убывает.

При $h > 4R$, выражение $(h-4R)$ положительно, поэтому $V'(h) > 0$, и функция объёма $V(h)$ возрастает.

Поскольку в точке $h=4R$ производная меняет знак с минуса на плюс, эта точка является точкой минимума. Таким образом, наименьший объём конуса достигается при высоте $h=4R$.

Ответ: $4R$.