Номер 11, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 11, страница 138.

Условие.

11. Доказать достаточное условие возрастания (убывания) функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Достаточное условие возрастания функции

Формулировка теоремы: Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a, b) и ее производная f'(x) > 0 для всех x из этого интервала, то функция f(x) строго возрастает на интервале (a, b).

Доказательство:

Для доказательства нам нужно показать, что для любых двух точек x_1 и x_2 из интервала (a, b), таких что x_1 < x_2, выполняется неравенство f(x_1) < f(x_2).

Возьмем две произвольные точки x_1 и x_2 из (a, b), удовлетворяющие условию x_1 < x_2. Рассмотрим функцию f(x) на отрезке [x_1, x_2].

Поскольку функция f(x) дифференцируема на интервале (a, b), она также непрерывна на любом отрезке внутри этого интервала, в частности на [x_1, x_2], и дифференцируема на (x_1, x_2). Таким образом, для функции f(x) на отрезке [x_1, x_2] выполнены все условия теоремы Лагранжа о среднем значении.

Согласно теореме Лагранжа, существует точка c, принадлежащая интервалу (x_1, x_2), для которой справедливо равенство:
$f'(c) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

Выразим из этой формулы разность значений функции:
$f(x_2) - f(x_1) = f'(c) \cdot (x_2 - x_1)$

Теперь проанализируем знаки сомножителей в правой части равенства:
1. По условию теоремы, производная f'(x) > 0 для любой точки из интервала (a, b). Так как точка c принадлежит интервалу (x_1, x_2), который является подмножеством (a, b), то f'(c) > 0.
2. Мы выбрали точки так, что x_1 < x_2, следовательно, разность (x_2 - x_1) > 0.

Произведение двух положительных чисел является положительным числом, поэтому правая часть равенства больше нуля:
$f(x_2) - f(x_1) > 0$

Из этого неравенства следует, что f(x_2) > f(x_1).

Поскольку мы доказали, что для любых x_1 < x_2 из интервала (a, b) выполняется f(x_1) < f(x_2), это означает, что функция f(x) является строго возрастающей на данном интервале. Теорема доказана.

Ответ: Доказано, что положительность производной функции на интервале является достаточным условием для строгого возрастания функции на этом интервале.

Достаточное условие убывания функции

Формулировка теоремы: Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a, b) и ее производная f'(x) < 0 для всех x из этого интервала, то функция f(x) строго убывает на интервале (a, b).

Доказательство:

Доказательство аналогично предыдущему. Нам нужно показать, что для любых двух точек x_1 и x_2 из интервала (a, b), таких что x_1 < x_2, выполняется неравенство f(x_1) > f(x_2).

Возьмем произвольные точки x_1, x_2 ∈ (a, b), где x_1 < x_2. Функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на отрезке [x_1, x_2]. Следовательно, существует точка c ∈ (x_1, x_2), такая что:
$f(x_2) - f(x_1) = f'(c) \cdot (x_2 - x_1)$

Проанализируем знаки сомножителей в правой части:
1. По условию теоремы, производная f'(x) < 0 для любой точки из интервала (a, b). Поскольку c ∈ (a, b), то f'(c) < 0.
2. По нашему выбору, x_1 < x_2, значит, разность (x_2 - x_1) > 0.

Произведение отрицательного и положительного чисел является отрицательным числом, поэтому правая часть равенства меньше нуля:
$f(x_2) - f(x_1) < 0$

Из этого неравенства следует, что f(x_2) < f(x_1), или f(x_1) > f(x_2).

Так как для любых x_1 < x_2 из интервала (a, b) выполняется f(x_1) > f(x_2), это по определению означает, что функция f(x) является строго убывающей на данном интервале. Теорема доказана.

Ответ: Доказано, что отрицательность производной функции на интервале является достаточным условием для строгого убывания функции на этом интервале.