Номер 9, страница 137 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 9, страница 137.

Условие.

9. Каков алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на заданном отрезке?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x)$, непрерывной на заданном отрезке $[a, b]$, используется следующий алгоритм. Он основан на том, что непрерывная на отрезке функция достигает своих экстремальных значений либо в точках экстремума (стационарных или критических точках), лежащих внутри отрезка, либо на его концах.

Алгоритм состоит из следующих шагов:

1. Найти производную функции $f'(x)$.
2. Найти стационарные и критические точки функции. Это точки из области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует.
   • Решить уравнение $f'(x) = 0$, чтобы найти стационарные точки.
   • Определить точки, в которых производная $f'(x)$ не существует (например, точки излома или точки, где знаменатель производной равен нулю). Это критические точки.
3. Выбрать точки, принадлежащие отрезку $[a, b]$. Из всех найденных на предыдущем шаге стационарных и критических точек нужно отобрать только те, которые лежат внутри отрезка $[a, b]$.
4. Вычислить значения функции в отобранных точках и на концах отрезка. Необходимо рассчитать значения функции $f(x)$ в каждой отобранной критической/стационарной точке, а также на концах отрезка, то есть найти $f(a)$ и $f(b)$.
5. Сравнить все полученные значения. Из множества значений, вычисленных на шаге 4, выбрать самое большое и самое маленькое.

Ответ: Наибольшее из вычисленных значений является наибольшим значением функции на отрезке (обозначается $\max_{[a,b]} f(x)$), а наименьшее — наименьшим значением функции на отрезке (обозначается $\min_{[a,b]} f(x)$).