Номер 7, страница 137 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 7, страница 137.

Условие.

7. Дать определение критической точке функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Критическая точка функции — это внутренняя точка области определения функции, в которой её производная равна нулю или не существует.

Более формально, точка $x_0$ называется критической для функции $f(x)$, если выполняются два условия:

1. Функция $f(x)$ определена в окрестности точки $x_0$ (то есть $x_0$ — внутренняя точка области определения).
2. Производная $f'(x_0)$ в этой точке либо равна нулю, либо не существует.

Таким образом, все критические точки можно разделить на два типа:

• Точки, в которых производная функции обращается в ноль: $f'(x_0) = 0$. Такие точки также называют стационарными точками. В этих точках касательная к графику функции горизонтальна.
• Точки, в которых функция непрерывна, но её производная не существует. Типичные примеры — точки "излома" или "заострения" на графике функции.

Критические точки важны при исследовании функции на экстремумы (локальные максимумы и минимумы). Согласно необходимому условию экстремума (теореме Ферма), если в точке $x_0$ функция имеет экстремум, то эта точка является критической. Это означает, что все экстремумы функции следует искать только среди её критических точек.

Пример 1 (стационарная точка):
Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 - 3x$. Её область определения — все действительные числа. Найдём производную: $f'(x) = 3x^2 - 3$. Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:
$3x^2 - 3 = 0$
$x^2 = 1$
$x_1 = -1$, $x_2 = 1$.
Точки $x=-1$ и $x=1$ являются критическими (стационарными) точками для функции $f(x) = x^3 - 3x$.

Пример 2 (производная не существует):
Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$ или $f(x) = x^{2/3}$. Эта функция определена и непрерывна на всей числовой оси. Найдём её производную:
$f'(x) = \frac{2}{3}x^{2/3 - 1} = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.
Эта производная не равна нулю ни при каком значении $x$. Однако, в точке $x=0$ знаменатель обращается в ноль, что означает, что производная в этой точке не существует.
Поскольку функция определена в точке $x=0$, а её производная не существует, то $x=0$ является критической точкой. (График этой функции имеет "касп" или точку заострения в начале координат).

Ответ: Критическая точка функции — это внутренняя точка из области определения функции, в которой её производная равна нулю или не существует.