Номер 12, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 12, страница 138.

Условие.

12. Доказать достаточные условия экстремума.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Достаточные условия экстремума позволяют определить характер стационарной точки функции (является ли она точкой минимума, максимума или перегиба), основываясь на значениях производных высших порядков в этой точке.

Теорема (достаточное условие экстремума второго порядка)

Пусть функция $y = f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$ и имеет в этой точке вторую производную. Пусть также первая производная в этой точке равна нулю: $f'(x_0) = 0$ (то есть $x_0$ — стационарная точка). Тогда:

• Если $f''(x_0) > 0$, то $x_0$ является точкой строгого локального минимума.
• Если $f''(x_0) < 0$, то $x_0$ является точкой строгого локального максимума.

(Если $f''(x_0) = 0$, то данная теорема не дает ответа о наличии экстремума, и требуется дополнительное исследование).

Доказательство

Для доказательства используем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано для функции $f(x)$ в окрестности точки $x_0$. Так как по условию функция дважды дифференцируема в точке $x_0$, ее разложение имеет вид:

$f(x) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + o((x - x_0)^2)$

По условию теоремы, $x_0$ — стационарная точка, следовательно, $f'(x_0) = 0$. Формула упрощается:

$f(x) = f(x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x - x_0)^2 + o((x - x_0)^2)$

Рассмотрим разность $f(x) - f(x_0)$, которая представляет собой приращение функции в точке $x_0$:

$f(x) - f(x_0) = \frac{f''(x_0)}{2}(x - x_0)^2 + o((x - x_0)^2)$

Вынесем $(x - x_0)^2$ за скобки. По определению "о малого", $o((x - x_0)^2)$ можно представить как $\alpha(x)(x-x_0)^2$, где $\lim_{x \to x_0} \alpha(x) = 0$.

$f(x) - f(x_0) = \left(\frac{f''(x_0)}{2} + \alpha(x)\right)(x - x_0)^2$

Знак приращения $f(x) - f(x_0)$ в малой окрестности точки $x_0$ определяет, является ли эта точка точкой экстремума. Множитель $(x - x_0)^2$ всегда положителен при $x \neq x_0$. Следовательно, знак всей правой части зависит от знака выражения в скобках $\left(\frac{f''(x_0)}{2} + \alpha(x)\right)$.

Случай 1: $f''(x_0) > 0$.

Поскольку $\lim_{x \to x_0} \alpha(x) = 0$, а $\frac{f''(x_0)}{2}$ — положительная константа, то найдется такая малая проколотая окрестность $\dot{U}(x_0)$ точки $x_0$, в которой $|\alpha(x)|$ будет меньше, чем $\frac{f''(x_0)}{2}$. Формально, для $\varepsilon = \frac{f''(x_0)}{4} > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что для всех $x$, удовлетворяющих $0 < |x-x_0| < \delta$, выполняется $|\alpha(x)| < \varepsilon$.

Для $x \in \dot{U}(x_0)$ значение выражения в скобках будет положительным:

$\frac{f''(x_0)}{2} + \alpha(x) > \frac{f''(x_0)}{2} - \frac{f''(x_0)}{4} = \frac{f''(x_0)}{4} > 0$

Таким образом, для всех $x \in \dot{U}(x_0)$ оба множителя в выражении для $f(x) - f(x_0)$ положительны. Следовательно,

$f(x) - f(x_0) > 0 \implies f(x) > f(x_0)$

Это по определению означает, что $x_0$ — точка строгого локального минимума.

Случай 2: $f''(x_0) < 0$.

Рассуждения аналогичны. Поскольку $\lim_{x \to x_0} \alpha(x) = 0$, а $\frac{f''(x_0)}{2}$ — отрицательная константа, то для $\varepsilon = -\frac{f''(x_0)}{4} > 0$ найдется такая малая проколотая окрестность $\dot{U}(x_0)$, в которой $|\alpha(x)| < \varepsilon$.

Для $x \in \dot{U}(x_0)$ значение выражения в скобках будет отрицательным:

$\frac{f''(x_0)}{2} + \alpha(x) < \frac{f''(x_0)}{2} - \frac{f''(x_0)}{4} = \frac{f''(x_0)}{4} < 0$

Таким образом, для всех $x \in \dot{U}(x_0)$ первый множитель отрицателен, а второй ($(x-x_0)^2$) положителен. Следовательно,

$f(x) - f(x_0) < 0 \implies f(x) < f(x_0)$

Это по определению означает, что $x_0$ — точка строгого локального максимума. Доказательство основной теоремы завершено.

Обобщение (достаточные условия высших порядков)

Теорему можно обобщить на случай, когда и вторая производная в стационарной точке равна нулю.
Пусть функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ производные до $n$-го порядка включительно ($n \ge 2$), и пусть:

$f'(x_0) = f''(x_0) = \dots = f^{(n-1)}(x_0) = 0$, а $f^{(n)}(x_0) \neq 0$.

Тогда разложение функции по формуле Тейлора в окрестности $x_0$ имеет вид:

$f(x) - f(x_0) = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + o((x - x_0)^n)$

Знак приращения $f(x) - f(x_0)$ вблизи $x_0$ определяется знаком главного члена $\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n$.

• Если $n$ — четное число, то $(x - x_0)^n > 0$ при $x \neq x_0$. Знак приращения совпадает со знаком $f^{(n)}(x_0)$.
  • Если $f^{(n)}(x_0) > 0$, то $f(x) > f(x_0)$, и в точке $x_0$ — локальный минимум.
  • Если $f^{(n)}(x_0) < 0$, то $f(x) < f(x_0)$, и в точке $x_0$ — локальный максимум.
• Если $n$ — нечетное число, то множитель $(x - x_0)^n$ меняет знак при переходе через точку $x_0$. Это означает, что приращение $f(x) - f(x_0)$ также меняет знак в окрестности $x_0$. Следовательно, в точке $x_0$ экстремума нет (это точка перегиба с горизонтальной касательной).

Ответ: Доказательство достаточных условий экстремума основано на анализе знака приращения функции $f(x) - f(x_0)$ в окрестности стационарной точки $x_0$ с помощью формулы Тейлора. Знак приращения определяется знаком первого ненулевого члена разложения. Если порядок $n$ первой ненулевой производной в точке $x_0$ является четным числом, то в этой точке наблюдается экстремум (минимум при $f^{(n)}(x_0) > 0$ и максимум при $f^{(n)}(x_0) < 0$). Если же порядок $n$ нечетный, то экстремума в точке $x_0$ нет. Детальное доказательство для случая $n=2$ и обобщение на высшие порядки представлены выше.