Номер 5, страница 137 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 5, страница 137.

Условие.

5. Сформулировать необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Необходимое условие экстремума для дифференцируемой функции известно как Теорема Ферма. Она формулируется следующим образом:

Если функция $f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$, дифференцируема в этой точке и имеет в точке $x_0$ локальный экстремум (то есть локальный максимум или локальный минимум), то её производная в этой точке равна нулю: $f'(x_0) = 0$.

Доказательство

Пусть для определённости точка $x_0$ является точкой локального максимума. Это означает, что существует такая окрестность точки $x_0$, например, интервал $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ с некоторым $\delta > 0$, что для любого $x$ из этого интервала выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$.

Рассмотрим приращение функции $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ для достаточно малого по модулю приращения аргумента $\Delta x$ (то есть $|\Delta x| < \delta$). Из условия локального максимума следует, что $\Delta f \le 0$.

По определению, производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Так как по условию функция дифференцируема в точке $x_0$, этот предел существует и конечен. Рассмотрим два случая для знака $\Delta x$:

1. Пусть $\Delta x > 0$. Тогда знаменатель дроби положителен, а числитель, как мы установили, неположителен ($\Delta f \le 0$). Следовательно, вся дробь неположительна:

$\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \le 0$

Переходя к пределу при $\Delta x \to 0^+$ (справа), по свойству пределов неравенств получаем:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \le 0$

2. Пусть $\Delta x < 0$. Тогда знаменатель дроби отрицателен, а числитель по-прежнему неположителен ($\Delta f \le 0$). Следовательно, вся дробь неотрицательна (деление неположительного числа на отрицательное):

$\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \ge 0$

Переходя к пределу при $\Delta x \to 0^-$ (слева), получаем:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \ge 0$

Поскольку производная $f'(x_0)$ существует, односторонние пределы должны быть равны. Таким образом, мы имеем два условия одновременно: $f'(x_0) \le 0$ и $f'(x_0) \ge 0$. Единственное число, удовлетворяющее обоим этим неравенствам, — это нуль.

Следовательно, $f'(x_0) = 0$.

Доказательство для случая, когда $x_0$ — точка локального минимума, проводится аналогично. В этом случае $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \ge 0$, что приведет к обратным знакам неравенств для отношения, но в итоге также даст результат $f'(x_0) = 0$.

Геометрическая интерпретация

Значение производной в точке равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. Условие $f'(x_0) = 0$ означает, что тангенс угла наклона равен нулю, а значит, сама касательная к графику функции в точке экстремума параллельна оси абсцисс (горизонтальна).

Важное замечание

Теорема Ферма даёт только необходимое, но не достаточное условие экстремума. Если производная в точке равна нулю, это не гарантирует, что в этой точке есть экстремум. Например, для функции $f(x) = x^3$ в точке $x_0 = 0$ производная $f'(0) = 0$, но эта точка является точкой перегиба, а не экстремумом.

Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками. Именно среди них следует искать точки экстремума функции.

Ответ: Если дифференцируемая в точке $x_0$ функция $f(x)$ имеет в этой точке экстремум (локальный максимум или минимум), то её производная в этой точке равна нулю: $f'(x_0) = 0$.