Номер 351, страница 137 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Упражнения к главе III - номер 351, страница 137.

Условие.

351. Два автомобиля едут с одинаковыми скоростями $v$ по пересекающимся под прямым углом дорогами. Каким будет наименьшее расстояние между автомобилями, если в начале движения они находились на расстояниях $a$ и $b$ соответственно от места пересечения дорог?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть дороги, по которым движутся автомобили, совпадают с осями координат Ox и Oy. Пересечение дорог будет находиться в начале координат, в точке (0, 0).

Пусть в начальный момент времени $t=0$ первый автомобиль находится на оси Ox на расстоянии a от перекрестка, а второй — на оси Oy на расстоянии b от перекрестка. Предположим, что оба автомобиля движутся по направлению к перекрестку. Скорость каждого автомобиля по модулю равна $v$.

В произвольный момент времени t положение первого автомобиля можно описать координатой $x_1(t) = a - vt$, а положение второго — координатой $y_2(t) = b - vt$. (Мы можем выбрать положительные направления осей так, чтобы начальные координаты были $a > 0$ и $b > 0$, а скорости были направлены в сторону уменьшения координат).

Расстояние d между автомобилями в момент времени t определяется по теореме Пифагора. Для удобства будем работать с квадратом расстояния $d^2$:

$d^2(t) = (x_1(t))^2 + (y_2(t))^2 = (a - vt)^2 + (b - vt)^2$

Чтобы найти наименьшее расстояние, необходимо найти минимум функции $d(t)$, что равносильно нахождению минимума функции $d^2(t)$. Раскроем скобки в выражении для $d^2(t)$:

$d^2(t) = a^2 - 2avt + v^2t^2 + b^2 - 2bvt + v^2t^2 = 2v^2t^2 - 2v(a+b)t + a^2 + b^2$

Это выражение является квадратичной функцией относительно времени t. Чтобы найти ее минимум, возьмем производную по t и приравняем ее к нулю:

$\frac{d(d^2)}{dt} = 4v^2t - 2v(a+b)$

Приравнивая производную к нулю, найдем момент времени $t_{min}$, когда расстояние будет минимальным:

$4v^2t_{min} - 2v(a+b) = 0$

$4v^2t_{min} = 2v(a+b)$

$t_{min} = \frac{2v(a+b)}{4v^2} = \frac{a+b}{2v}$

Чтобы убедиться, что это точка минимума, можно проверить знак второй производной: $\frac{d^2(d^2)}{dt^2} = 4v^2$. Так как скорость $v > 0$, вторая производная положительна, следовательно, в найденной точке действительно достигается минимум.

Теперь подставим найденное значение $t_{min}$ в выражение для квадрата расстояния, чтобы найти его минимальное значение:

$d_{min}^2 = (a - v \cdot \frac{a+b}{2v})^2 + (b - v \cdot \frac{a+b}{2v})^2$

$d_{min}^2 = (a - \frac{a+b}{2})^2 + (b - \frac{a+b}{2})^2$

$d_{min}^2 = (\frac{2a - a - b}{2})^2 + (\frac{2b - a - b}{2})^2$

$d_{min}^2 = (\frac{a - b}{2})^2 + (\frac{b - a}{2})^2$

Поскольку $(b-a)^2 = (-(a-b))^2 = (a-b)^2$, получаем:

$d_{min}^2 = \frac{(a-b)^2}{4} + \frac{(a-b)^2}{4} = \frac{2(a-b)^2}{4} = \frac{(a-b)^2}{2}$

Искомое наименьшее расстояние $d_{min}$ равно квадратному корню из этого выражения:

$d_{min} = \sqrt{\frac{(a-b)^2}{2}} = \frac{\sqrt{(a-b)^2}}{\sqrt{2}} = \frac{|a-b|}{\sqrt{2}}$

Результат можно также записать в виде $d_{min} = \frac{|a-b|\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: Наименьшее расстояние между автомобилями будет равно $\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}$.