Номер 347, страница 136 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 347, страница 136.

Условие.

347. Груз, лежащий на горизонтальной плоскости, нужно сдвинуть с места силой, приложенной к этому грузу (рис. 84). Определить угол, образуемый этой силой с плоскостью, при котором сила будет наименьшей, если коэффициент трения груза $k$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы сдвинуть груз с места, необходимо приложить силу, горизонтальная составляющая которой равна или превышает максимальную силу трения покоя.

Введем обозначения: $F$ — приложенная сила, $\alpha$ — угол, образуемый силой $F$ с горизонтальной плоскостью, $m$ — масса груза, $g$ — ускорение свободного падения, $P = mg$ — сила тяжести, $N$ — сила нормальной реакции опоры, и $k$ — коэффициент трения.

Запишем условия равновесия для груза в момент перед началом движения, используя второй закон Ньютона. Выберем систему координат, в которой ось Ox направлена горизонтально в сторону движения, а ось Oy — вертикально вверх.

Разложим приложенную силу $F$ на горизонтальную $F_x = F \cos(\alpha)$ и вертикальную $F_y = F \sin(\alpha)$ компоненты.

Уравнение равновесия сил в проекции на вертикальную ось Oy имеет вид:

$\sum F_y = N + F_y - P = 0$

$N + F \sin(\alpha) - mg = 0$

Отсюда получаем выражение для силы нормальной реакции опоры:

$N = mg - F \sin(\alpha)$

Вертикальная составляющая силы $F_y$ уменьшает давление груза на опору, и, как следствие, уменьшает силу трения. Условие начала движения состоит в том, что горизонтальная компонента приложенной силы должна быть равна максимальной силе трения покоя $F_{\text{тр max}} = k N$.

Уравнение равновесия сил в проекции на горизонтальную ось Ox:

$\sum F_x = F_x - F_{\text{тр max}} = 0$

$F \cos(\alpha) - k N = 0$

Подставим в это уравнение ранее найденное выражение для $N$:

$F \cos(\alpha) - k(mg - F \sin(\alpha)) = 0$

Теперь из этого уравнения выразим величину силы $F$ как функцию угла $\alpha$:

$F \cos(\alpha) - k \cdot mg + k \cdot F \sin(\alpha) = 0$

$F (\cos(\alpha) + k \sin(\alpha)) = k \cdot mg$

$F(\alpha) = \frac{k \cdot mg}{\cos(\alpha) + k \sin(\alpha)}$

Чтобы найти, при каком угле $\alpha$ сила $F$ будет наименьшей, необходимо найти максимум знаменателя этой дроби: $Z(\alpha) = \cos(\alpha) + k \sin(\alpha)$. Для этого найдем производную функции $Z(\alpha)$ по $\alpha$ и приравняем её к нулю.

$\frac{dZ}{d\alpha} = \frac{d}{d\alpha}(\cos(\alpha) + k \sin(\alpha)) = -\sin(\alpha) + k \cos(\alpha)$

Приравниваем производную к нулю для поиска точки экстремума:

$-\sin(\alpha) + k \cos(\alpha) = 0$

$k \cos(\alpha) = \sin(\alpha)$

Предполагая, что $\cos(\alpha) \ne 0$ (что верно для физически осмысленного решения, так как $k > 0$), разделим обе части уравнения на $\cos(\alpha)$:

$k = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

$k = \tan(\alpha)$

Таким образом, сила $F$ будет наименьшей, когда тангенс угла её приложения к горизонту равен коэффициенту трения $k$. Этот угол также называют углом трения.

Ответ: Угол $\alpha$, образуемый силой с плоскостью, при котором сила будет наименьшей, находится из соотношения $\tan(\alpha) = k$, то есть $\alpha = \arctan(k)$.