Номер 343, страница 136 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 343, страница 136.

Условие.

343. Найти наибольший объём цилиндра, площадь полной поверхности которого равна $S$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота.

Объём цилиндра $V$ и площадь его полной поверхности $S$ выражаются формулами:
$V = \pi r^2 h$
$S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$

Задача состоит в том, чтобы найти максимальное значение функции $V(r, h)$ при заданном значении $S$. Для этого сначала выразим одну из переменных, например $h$, через другую ($r$) из формулы для площади поверхности.
$S = 2\pi r^2 + 2\pi r h \implies 2\pi r h = S - 2\pi r^2 \implies h = \frac{S - 2\pi r^2}{2\pi r} = \frac{S}{2\pi r} - r$

Теперь подставим полученное выражение для $h$ в формулу объёма, чтобы получить функцию объёма, зависящую только от одной переменной $r$:
$V(r) = \pi r^2 \left( \frac{S}{2\pi r} - r \right) = \frac{\pi r^2 S}{2\pi r} - \pi r^2 \cdot r = \frac{Sr}{2} - \pi r^3$

Чтобы найти наибольшее значение объёма, необходимо исследовать функцию $V(r)$ на экстремум. Для этого найдём её производную по переменной $r$.
$V'(r) = \frac{d}{dr} \left( \frac{Sr}{2} - \pi r^3 \right) = \frac{S}{2} - 3\pi r^2$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$\frac{S}{2} - 3\pi r^2 = 0$
$3\pi r^2 = \frac{S}{2}$
$r^2 = \frac{S}{6\pi}$
$r = \sqrt{\frac{S}{6\pi}}$ (мы выбираем положительное значение, так как радиус не может быть отрицательным).

Чтобы убедиться, что в найденной точке достигается именно максимум, а не минимум, найдём вторую производную:
$V''(r) = \frac{d}{dr} \left( \frac{S}{2} - 3\pi r^2 \right) = -6\pi r$
Поскольку $r > 0$, вторая производная $V''(r)$ всегда отрицательна. Это означает, что найденное значение $r$ действительно соответствует максимуму функции объёма.

Интересно отметить, что при максимальном объёме высота цилиндра связана с его радиусом простым соотношением. Подставим $S = 6\pi r^2$ в выражение для $h$:
$h = \frac{S}{2\pi r} - r = \frac{6\pi r^2}{2\pi r} - r = 3r - r = 2r$
Таким образом, цилиндр имеет наибольший объём при заданной площади полной поверхности, когда его высота равна диаметру основания.

Наконец, вычислим искомый наибольший объём $V_{max}$, подставив $h = 2r$ в формулу объёма и используя найденное значение для $r$:
$V_{max} = \pi r^2 h = \pi r^2 (2r) = 2\pi r^3$
Теперь подставим $r = \sqrt{\frac{S}{6\pi}}$:
$V_{max} = 2\pi \left(\sqrt{\frac{S}{6\pi}}\right)^3 = 2\pi \left(\frac{S}{6\pi}\right)^{\frac{3}{2}} = 2\pi \frac{S\sqrt{S}}{(6\pi)\sqrt{6\pi}} = \frac{2\pi S\sqrt{S}}{6\pi\sqrt{6\pi}} = \frac{S\sqrt{S}}{3\sqrt{6\pi}}$

Это выражение можно также записать в виде $V_{max} = \frac{S}{3}\sqrt{\frac{S}{6\pi}}$ или $V_{max} = \frac{S\sqrt{S}}{\sqrt{54\pi}}$.

Ответ: $V_{max} = \frac{S\sqrt{S}}{3\sqrt{6\pi}}$