Номер 349, страница 137 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 349, страница 137.

Условие.

349. Полевой стан расположен в 9 км от ближайшей к нему точки шоссе. От этой точки до посёлка 15 км. Велосипедист должен из посёлка доехать до полевого стана. На каком расстоянии от посёлка после движения по шоссе ему следует свернуть в поле и ехать по прямой до полевого стана, чтобы время в пути было наименьшим? Известно, что скорость велосипедиста по шоссе 10 км/ч, а по полю — 8 км/ч.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи необходимо найти такое расстояние, при котором общее время в пути велосипедиста будет минимальным. Для этого составим функцию, описывающую зависимость времени от точки съезда с шоссе, и найдем ее минимум.

Введем систему координат. Пусть шоссе совпадает с осью Ox, посёлок находится в точке П с координатой $x=0$. Ближайшая к полевому стану точка на шоссе, назовем ее Н, имеет координату $x=15$. Полевой стан, точка С, находится на расстоянии 9 км от шоссе, поэтому его координаты будут $(15, 9)$.

Пусть велосипедист съезжает с шоссе в точке Т, проехав от посёлка расстояние $x$. Координаты точки Т будут $(x, 0)$. Диапазон возможных значений для $x$ — от 0 до 15 км, то есть $x \in [0, 15]$.

Путь велосипедиста состоит из двух участков:

1. Движение по шоссе от точки П(0,0) до точки Т(x,0). Длина этого участка равна $x$ км.
2. Движение по полю от точки Т(x,0) до точки С(15,9). Длина этого участка — это расстояние между двумя точками, которое находится по формуле: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ $d_{ТС} = \sqrt{(15-x)^2 + (9-0)^2} = \sqrt{(15-x)^2 + 81}$ км.

Время в пути вычисляется по формуле $t = S/v$.

Время движения по шоссе ($v_{шоссе} = 10$ км/ч):

$t_{шоссе} = \frac{x}{10}$ ч.

Время движения по полю ($v_{поле} = 8$ км/ч):

$t_{поле} = \frac{\sqrt{(15-x)^2 + 81}}{8}$ ч.

Общее время в пути $T(x)$ является суммой времени движения по шоссе и по полю:

$T(x) = \frac{x}{10} + \frac{\sqrt{(15-x)^2 + 81}}{8}$

Для нахождения минимального времени найдем производную функции $T(x)$ по $x$ и приравняем ее к нулю.

$T'(x) = \left(\frac{x}{10} + \frac{\sqrt{(15-x)^2 + 81}}{8}\right)'$

$T'(x) = \frac{1}{10} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2\sqrt{(15-x)^2 + 81}} \cdot (2(15-x) \cdot (-1))$

$T'(x) = \frac{1}{10} - \frac{15-x}{8\sqrt{(15-x)^2 + 81}}$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$T'(x) = 0 \implies \frac{1}{10} = \frac{15-x}{8\sqrt{(15-x)^2 + 81}}$

Возведем обе части в квадрат, учитывая, что $15-x$ должно быть положительным (так как левая часть положительна), т.е. $x<15$.

$8\sqrt{(15-x)^2 + 81} = 10(15-x)$

$64((15-x)^2 + 81) = 100(15-x)^2$

$64(15-x)^2 + 64 \cdot 81 = 100(15-x)^2$

$64 \cdot 81 = 100(15-x)^2 - 64(15-x)^2$

$5184 = 36(15-x)^2$

$(15-x)^2 = \frac{5184}{36} = 144$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$15-x = \pm 12$

Рассмотрим два случая:

1. $15 - x = 12 \implies x = 15 - 12 = 3$
2. $15 - x = -12 \implies x = 15 + 12 = 27$

Решение $x = 27$ не принадлежит отрезку $[0, 15]$, поэтому мы его отбрасываем. Единственная критическая точка на рассматриваемом интервале — $x=3$.

Чтобы убедиться, что это точка минимума, проверим знак производной $T'(x)$ на интервалах $(0, 3)$ и $(3, 15)$.

• При $x<3$ (например, $x=0$), $T'(0) = \frac{1}{10} - \frac{15}{8\sqrt{15^2+81}} = \frac{1}{10} - \frac{15}{8\sqrt{306}} \approx 0.1 - 0.107 < 0$, функция убывает.
• При $x>3$ (например, $x=15$), $T'(15) = \frac{1}{10} - \frac{0}{8\sqrt{0+81}} = \frac{1}{10} > 0$, функция возрастает.

Так как производная меняет знак с "-" на "+" в точке $x=3$, эта точка является точкой минимума. Следовательно, наименьшее время в пути будет достигнуто, если велосипедист свернет с шоссе, проехав 3 км от посёлка.

Ответ: Велосипедисту следует свернуть в поле на расстоянии 3 км от посёлка.