Номер 2, страница 137 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 2, страница 137.

Условие.

2. Сформулировать достаточное условие возрастания (убывания) функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Достаточное условие возрастания (убывания) функции, также известное как признак монотонности функции, связывает знак производной функции на некотором промежутке с характером её монотонности на этом промежутке. Теорема формулируется для функции, которая непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале.

Достаточное условие возрастания функции

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и её производная $f'(x)$ положительна для всех $x$ из интервала $(a, b)$, то функция $f(x)$ строго возрастает на отрезке $[a, b]$.

Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из отрезка $[a, b]$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется строгое неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Геометрический смысл этого условия заключается в том, что касательная к графику функции в каждой точке интервала $(a, b)$ образует острый угол с положительным направлением оси $Ox$, то есть график функции "идёт вверх".

Доказательство этого утверждения основывается на теореме Лагранжа о среднем значении. Согласно этой теореме, для любых $x_1, x_2 \in [a, b]$ ($x_1 < x_2$) существует точка $c \in (x_1, x_2)$ такая, что $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = f'(c)$. Поскольку $x_2 - x_1 > 0$ и по условию $f'(c) > 0$, то и числитель $f(x_2) - f(x_1)$ должен быть больше нуля, откуда следует $f(x_2) > f(x_1)$.

Замечание: Если производная неотрицательна ($f'(x) \ge 0$) на интервале $(a, b)$ и равна нулю лишь в отдельных точках, то функция является возрастающей (нестрого) на отрезке $[a, b]$.

Ответ: Если функция непрерывна на отрезке, а ее производная положительна во всех внутренних точках этого отрезка ($f'(x) > 0$), то функция строго возрастает на данном отрезке.

Достаточное условие убывания функции

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и её производная $f'(x)$ отрицательна для всех $x$ из интервала $(a, b)$, то функция $f(x)$ строго убывает на отрезке $[a, b]$.

Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из отрезка $[a, b]$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется строгое неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Геометрический смысл этого условия заключается в том, что касательная к графику функции в каждой точке интервала $(a, b)$ образует тупой угол с положительным направлением оси $Ox$, то есть график функции "идёт вниз".

Доказательство аналогично предыдущему пункту и также использует теорему Лагранжа. Из условия $f'(c) < 0$ и $x_2 - x_1 > 0$ следует, что $f(x_2) - f(x_1) < 0$, то есть $f(x_2) < f(x_1)$.

Замечание: Если производная неположительна ($f'(x) \le 0$) на интервале $(a, b)$ и равна нулю лишь в отдельных точках, то функция является убывающей (нестрого) на отрезке $[a, b]$.

Ответ: Если функция непрерывна на отрезке, а ее производная отрицательна во всех внутренних точках этого отрезка ($f'(x) < 0$), то функция строго убывает на данном отрезке.