Номер 6, страница 137 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 6, страница 137.

Условие.

6. Дать определение стационарной точке функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Стационарная точка (также известная как критическая точка первого рода) — это внутренняя точка области определения дифференцируемой функции, в которой её производная (или градиент для функции нескольких переменных) равна нулю. Такие точки являются "кандидатами" на локальные экстремумы (максимумы и минимумы) функции.

Для функции одной переменной

Пусть функция $y = f(x)$ определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки $x_0$. Точка $x_0$ называется стационарной точкой функции $f(x)$, если производная функции в этой точке равна нулю: $$f'(x_0) = 0$$ Геометрически это означает, что касательная к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ горизонтальна, то есть параллельна оси $Ox$.

Для функции нескольких переменных

Пусть дана функция нескольких переменных, например, $z = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$. Точка $M_0(x_{1_0}, x_{2_0}, \dots, x_{n_0})$ называется стационарной точкой, если все её частные производные первого порядка в этой точке равны нулю. Это эквивалентно тому, что градиент функции в этой точке является нулевым вектором: $$\nabla f(M_0) = \vec{0}$$ Для функции двух переменных $z = f(x, y)$ это условие записывается в виде системы уравнений: $$ \begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = 0 \end{cases} $$ Геометрически для функции двух переменных это означает, что касательная плоскость к поверхности $z=f(x,y)$ в точке $(x_0, y_0, f(x_0,y_0))$ горизонтальна, то есть параллельна плоскости $Oxy$.

Классификация и значение

Нахождение стационарных точек — это первый и необходимый шаг при поиске локальных экстремумов функции. Согласно необходимому условию экстремума (теореме Ферма), если дифференцируемая функция имеет в точке локальный экстремум, то эта точка обязательно является стационарной.

Однако не каждая стационарная точка является точкой экстремума. Стационарная точка может быть:
- точкой локального максимума;
- точкой локального минимума;
- точкой перегиба (для функции одной переменной) или седловой точкой (для функции нескольких переменных), которые не являются точками экстремума.
Для того чтобы определить тип стационарной точки, необходимо провести дополнительное исследование, например, с помощью анализа знака второй производной или исследования знаков определителей матрицы Гессе.

Ответ: Стационарной точкой дифференцируемой функции называется внутренняя точка её области определения, в которой производная (для функции одной переменной) или все частные производные первого порядка (для функции нескольких переменных) обращаются в ноль.