Номер 4, страница 137 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 4, страница 137.

Условие.

4. Сформулировать теорему Ферма.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку название "теорема Ферма" может относиться к нескольким различным утверждениям в математике, приведем формулировки наиболее известных из них.

Теорема Ферма (необходимое условие экстремума)

Эта теорема является фундаментальным результатом в дифференциальном исчислении и устанавливает связь между производной функции и ее точками локального экстремума.

Формулировка:
Пусть функция $f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$ и дифференцируема в этой точке. Если $x_0$ является точкой локального экстремума (то есть локального максимума или локального минимума) функции $f(x)$, то ее производная в этой точке равна нулю: $f'(x_0) = 0$.

Пояснение:
Теорема дает необходимое, но не достаточное условие экстремума. Это означает, что если в точке $x_0$ есть экстремум и существует производная, то она обязательно будет равна нулю. Однако обратное неверно: если производная равна нулю в некоторой точке, это не гарантирует наличие экстремума в этой точке. Например, для функции $f(x) = x^3$ производная $f'(x) = 3x^2$ обращается в ноль при $x=0$, но в этой точке функция не имеет экстремума, а имеет точку перегиба. Геометрически теорема означает, что касательная к графику функции в точке локального экстремума параллельна оси абсцисс.

Ответ: Если функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$ и имеет в этой точке локальный экстремум, то $f'(x_0) = 0$.

---

Малая теорема Ферма

Это одна из ключевых теорем элементарной теории чисел, которая широко используется в криптографии и алгоритмах.

Формулировка 1:
Если $p$ — простое число, и $a$ — целое число, не делящееся на $p$, то число $a^{p-1} - 1$ делится на $p$. В терминах сравнений по модулю это записывается так: $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

Формулировка 2 (эквивалентная):
Если $p$ — простое число, то для любого целого числа $a$ число $a^p - a$ делится на $p$. В терминах сравнений по модулю: $a^p \equiv a \pmod{p}$.

Пояснение:
Например, пусть $p=7$ (простое число) и $a=2$ (не делится на 7). Согласно теореме, $2^{7-1} - 1 = 2^6 - 1 = 64 - 1 = 63$ должно делиться на 7. Действительно, $63 = 7 \cdot 9$. Вторая формулировка удобна тем, что верна для всех целых $a$, включая кратные $p$. Если $a$ делится на $p$, то $a \equiv 0 \pmod{p}$, и очевидно, что $a^p \equiv 0 \pmod{p}$, так что $a^p \equiv a \pmod{p}$ выполняется и в этом случае.

Ответ: Если $p$ — простое число, то для любого целого числа $a$, не делящегося на $p$, выполняется сравнение $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

---

Великая теорема Ферма (или Последняя теорема Ферма)

Это одна из самых знаменитых теорем в истории математики, сформулированная Пьером де Ферма в 1637 году и доказанная лишь в 1994 году Эндрю Уайлсом.

Формулировка:
Для любого натурального числа $n > 2$ уравнение $a^n + b^n = c^n$ не имеет решений в натуральных (или целых ненулевых) числах $a, b, c$.

Пояснение:
При $n=2$ уравнение $a^2 + b^2 = c^2$ имеет бесконечно много решений в натуральных числах, известных как пифагоровы тройки (например, $3^2 + 4^2 = 5^2$). Теорема Ферма утверждает, что для кубов ($n=3$), четвертых степеней ($n=4$) и так далее, таких троек чисел не существует. Сам Ферма оставил на полях книги "Арифметика" Диофанта заметку о том, что он нашел "поистине чудесное доказательство", но поля слишком узки, чтобы его вместить. Поиски этого доказательства занимали математиков более 350 лет.

Ответ: Уравнение $a^n + b^n = c^n$ не имеет решений в натуральных числах $a, b, c$ для любого натурального показателя $n > 2$.