Номер 348, страница 136 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Упражнения к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 348, страница 136.

№348 (с. 136)
Условие. №348 (с. 136)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 136, номер 348, Условие Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 136, номер 348, Условие (продолжение 2)

348. Ещё И. Ньютон обнаружил, что скорость охлаждения тела примерно пропорциональна разнице температур между нагретым телом и окружающей средой. Если температура окружающей среды $T_s$ не меняется, то температура помещённого в эту среду тела $T$ в зависимости от времени $t$ меняется по закону $T(t)=T_s+(T_0-T_s)e^{-kt}$, где $T_0$ — начальная температура тела, $k$ — коэффициент, характеризующий свойства теплопроводности, геометрию и другие свойства тела. Допустим, что в начальный момент времени $t=0$ температура тела была равна $200^{\circ} C$, а скорость остывания — $3$ градуса за секунду. Температуру окружающей среды поддерживали равной $20^{\circ} C$. Найти температуру тела через $2$ мин после начала остывания.

Решение 1. №348 (с. 136)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 136, номер 348, Решение 1
Решение 2. №348 (с. 136)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 136, номер 348, Решение 2
Решение 3. №348 (с. 136)

Для решения задачи воспользуемся законом охлаждения Ньютона, который представлен в условии в виде формулы: $T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{-kt}$

В этой формуле:

  • $T(t)$ — температура тела в момент времени $t$.
  • $T_s$ — температура окружающей среды.
  • $T_0$ — начальная температура тела.
  • $k$ — коэффициент, зависящий от свойств тела.
  • $t$ — время.

Из условия задачи нам известны следующие параметры:

  • Начальная температура тела: $T_0 = 200^{\circ}C$.
  • Температура окружающей среды: $T_s = 20^{\circ}C$.

Для того чтобы найти температуру тела в определенный момент времени, нам сначала нужно определить значение коэффициента $k$. Для этого используем информацию о скорости остывания. Скорость изменения температуры — это производная функции $T(t)$ по времени $t$.

Найдем производную $T'(t)$: $T'(t) = \frac{d}{dt} \left( T_s + (T_0 - T_s)e^{-kt} \right) = 0 + (T_0 - T_s) \cdot (e^{-kt})' = (T_0 - T_s) \cdot (-k e^{-kt}) = -k(T_0 - T_s)e^{-kt}$.

По условию, в начальный момент времени ($t=0$) скорость остывания составляла 3 градуса в секунду. Так как тело остывает, его температура убывает, поэтому значение производной отрицательно: $T'(0) = -3^{\circ}C/с$.

Подставим $t=0$ в выражение для производной: $T'(0) = -k(T_0 - T_s)e^{-k \cdot 0} = -k(T_0 - T_s)e^0 = -k(T_0 - T_s)$.

Теперь подставим известные числовые значения, чтобы найти $k$: $-3 = -k(200 - 20)$ $-3 = -k(180)$ $k = \frac{3}{180} = \frac{1}{60} \text{ с}^{-1}$.

Теперь, когда мы нашли коэффициент $k$, мы можем записать уравнение зависимости температуры тела от времени, подставив все известные константы: $T(t) = 20 + (200 - 20)e^{-\frac{1}{60}t} = 20 + 180e^{-t/60}$. Важно отметить, что в этой формуле время $t$ должно измеряться в секундах, так как коэффициент $k$ был рассчитан исходя из скорости в градусах в секунду.

Нам нужно найти температуру тела через 2 минуты после начала остывания. Переведем время в секунды: $t = 2 \text{ мин} = 2 \times 60 \text{ с} = 120 \text{ с}$.

Подставим это значение времени в полученную формулу: $T(120) = 20 + 180e^{-120/60} = 20 + 180e^{-2}$.

Это точное значение температуры. Для получения численного ответа вычислим его приближенное значение, используя $e \approx 2.718$: $T(120) = 20 + \frac{180}{e^2} \approx 20 + \frac{180}{7.389} \approx 20 + 24.36 = 44.36^{\circ}C$.

Ответ: Температура тела через 2 минуты после начала остывания составит $20 + 180e^{-2} \ ^{\circ}C$, что примерно равно $44.36^{\circ}C$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 348 расположенного на странице 136 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №348 (с. 136), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.