Номер 348, страница 136 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Упражнения к главе III - номер 348, страница 136.

Условие.

348. Ещё И. Ньютон обнаружил, что скорость охлаждения тела примерно пропорциональна разнице температур между нагретым телом и окружающей средой. Если температура окружающей среды $T_s$ не меняется, то температура помещённого в эту среду тела $T$ в зависимости от времени $t$ меняется по закону $T(t)=T_s+(T_0-T_s)e^{-kt}$, где $T_0$ — начальная температура тела, $k$ — коэффициент, характеризующий свойства теплопроводности, геометрию и другие свойства тела. Допустим, что в начальный момент времени $t=0$ температура тела была равна $200^{\circ} C$, а скорость остывания — $3$ градуса за секунду. Температуру окружающей среды поддерживали равной $20^{\circ} C$. Найти температуру тела через $2$ мин после начала остывания.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи воспользуемся законом охлаждения Ньютона, который представлен в условии в виде формулы: $T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{-kt}$

В этой формуле:

• $T(t)$ — температура тела в момент времени $t$.
• $T_s$ — температура окружающей среды.
• $T_0$ — начальная температура тела.
• $k$ — коэффициент, зависящий от свойств тела.
• $t$ — время.

Из условия задачи нам известны следующие параметры:

• Начальная температура тела: $T_0 = 200^{\circ}C$.
• Температура окружающей среды: $T_s = 20^{\circ}C$.

Для того чтобы найти температуру тела в определенный момент времени, нам сначала нужно определить значение коэффициента $k$. Для этого используем информацию о скорости остывания. Скорость изменения температуры — это производная функции $T(t)$ по времени $t$.

Найдем производную $T'(t)$: $T'(t) = \frac{d}{dt} \left( T_s + (T_0 - T_s)e^{-kt} \right) = 0 + (T_0 - T_s) \cdot (e^{-kt})' = (T_0 - T_s) \cdot (-k e^{-kt}) = -k(T_0 - T_s)e^{-kt}$.

По условию, в начальный момент времени ($t=0$) скорость остывания составляла 3 градуса в секунду. Так как тело остывает, его температура убывает, поэтому значение производной отрицательно: $T'(0) = -3^{\circ}C/с$.

Подставим $t=0$ в выражение для производной: $T'(0) = -k(T_0 - T_s)e^{-k \cdot 0} = -k(T_0 - T_s)e^0 = -k(T_0 - T_s)$.

Теперь подставим известные числовые значения, чтобы найти $k$: $-3 = -k(200 - 20)$ $-3 = -k(180)$ $k = \frac{3}{180} = \frac{1}{60} \text{ с}^{-1}$.

Теперь, когда мы нашли коэффициент $k$, мы можем записать уравнение зависимости температуры тела от времени, подставив все известные константы: $T(t) = 20 + (200 - 20)e^{-\frac{1}{60}t} = 20 + 180e^{-t/60}$. Важно отметить, что в этой формуле время $t$ должно измеряться в секундах, так как коэффициент $k$ был рассчитан исходя из скорости в градусах в секунду.

Нам нужно найти температуру тела через 2 минуты после начала остывания. Переведем время в секунды: $t = 2 \text{ мин} = 2 \times 60 \text{ с} = 120 \text{ с}$.

Подставим это значение времени в полученную формулу: $T(120) = 20 + 180e^{-120/60} = 20 + 180e^{-2}$.

Это точное значение температуры. Для получения численного ответа вычислим его приближенное значение, используя $e \approx 2.718$: $T(120) = 20 + \frac{180}{e^2} \approx 20 + \frac{180}{7.389} \approx 20 + 24.36 = 44.36^{\circ}C$.

Ответ: Температура тела через 2 минуты после начала остывания составит $20 + 180e^{-2} \ ^{\circ}C$, что примерно равно $44.36^{\circ}C$.