Номер 341, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Упражнения к главе III - номер 341, страница 135.

Условие.

340. Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, сверху завершённого полукругом. Определить радиус полукруга, при котором площадь сечения будет наибольшей, если периметр сечения равен $p$.

341. Равнобедренный треугольник описан около квадрата со стороной $a$ так, что одна сторона квадрата лежит на основании треугольника (рис. 82).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

340.

Пусть $r$ — радиус полукруга, а $h$ — высота прямоугольной части тоннеля. Тогда ширина прямоугольника (и диаметр полукруга) равна $2r$.

Периметр сечения $p$ складывается из длины основания прямоугольника ($2r$), двух его боковых сторон (каждая по $h$) и длины дуги полукруга ($\pi r$).

Таким образом, формула для периметра:
$p = 2r + 2h + \pi r = (2+\pi)r + 2h$

Выразим высоту $h$ через $p$ и $r$:
$2h = p - (2+\pi)r$
$h = \frac{p - (2+\pi)r}{2}$

Площадь сечения $S$ является суммой площади прямоугольника ($S_{прям} = 2r \cdot h$) и площади полукруга ($S_{полукр} = \frac{1}{2}\pi r^2$).
$S = 2rh + \frac{1}{2}\pi r^2$

Подставим выражение для $h$ в формулу площади, чтобы получить функцию $S(r)$, зависящую только от радиуса $r$:
$S(r) = 2r \left( \frac{p - (2+\pi)r}{2} \right) + \frac{1}{2}\pi r^2$
$S(r) = r(p - (2+\pi)r) + \frac{1}{2}\pi r^2$
$S(r) = pr - (2+\pi)r^2 + \frac{1}{2}\pi r^2$
$S(r) = pr - 2r^2 - \pi r^2 + \frac{1}{2}\pi r^2$
$S(r) = pr - \left(2 + \frac{\pi}{2}\right)r^2$

Функция $S(r)$ является квадратичной параболой с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при $r^2$ отрицателен ($-(2 + \pi/2) < 0$). Ее максимум достигается в вершине параболы.

Для нахождения точки максимума найдем производную $S'(r)$ и приравняем ее к нулю:
$S'(r) = \frac{d}{dr} \left( pr - \left(2 + \frac{\pi}{2}\right)r^2 \right) = p - 2\left(2 + \frac{\pi}{2}\right)r = p - (4+\pi)r$

Приравняем производную к нулю:
$p - (4+\pi)r = 0$
$(4+\pi)r = p$
$r = \frac{p}{4+\pi}$

Так как вторая производная $S''(r) = -(4+\pi) < 0$, найденное значение $r$ действительно соответствует максимуму площади.

Ответ: Радиус полукруга должен быть равен $r = \frac{p}{4+\pi}$.

---

341.

Текст задачи обрывается, не содержит вопроса. Судя по контексту (задача на оптимизацию №340), наиболее вероятный вопрос — найти размеры равнобедренного треугольника, при которых его площадь будет наименьшей. Решим задачу в этой постановке.

Пусть $ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AC$. Пусть $BH$ — его высота, проведенная к основанию. Обозначим высоту $BH = h$ и основание $AC = b$. Площадь треугольника $S = \frac{1}{2}bh$.

В треугольник вписан квадрат со стороной $a$ так, что одна его сторона лежит на $AC$. Пусть вершины квадрата, лежащие на боковых сторонах $AB$ и $BC$, это $E$ и $F$ соответственно. Тогда сторона квадрата $EF$ параллельна основанию $AC$.

Рассмотрим треугольник $EBF$, который подобен треугольнику $ABC$. Высота треугольника $EBF$, проведенная из вершины $B$, равна $h-a$. Основание треугольника $EBF$ — это сторона квадрата $EF$, равная $a$.

Из подобия треугольников следует отношение их оснований и высот:
$\frac{\text{основание } EBF}{\text{основание } ABC} = \frac{\text{высота } EBF}{\text{высота } ABC}$
$\frac{a}{b} = \frac{h-a}{h}$

Из этого соотношения выразим основание $b$ через высоту $h$ и сторону квадрата $a$:
$b(h-a) = ah$
$b = \frac{ah}{h-a}$
(Отметим, что для существования такой конфигурации высота треугольника должна быть больше стороны квадрата, то есть $h > a$).

Теперь запишем площадь треугольника как функцию одной переменной $h$:
$S(h) = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} \left(\frac{ah}{h-a}\right) h = \frac{a h^2}{2(h-a)}$

Чтобы найти минимальную площадь, найдем производную функции $S(h)$ по $h$ и приравняем ее к нулю. Используем правило дифференцирования частного:
$S'(h) = \frac{a}{2} \cdot \frac{(h^2)'(h-a) - h^2(h-a)'}{(h-a)^2} = \frac{a}{2} \cdot \frac{2h(h-a) - h^2(1)}{(h-a)^2}$
$S'(h) = \frac{a}{2} \cdot \frac{2h^2 - 2ah - h^2}{(h-a)^2} = \frac{a}{2} \cdot \frac{h^2 - 2ah}{(h-a)^2} = \frac{ah(h-2a)}{2(h-a)^2}$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
$\frac{ah(h-2a)}{2(h-a)^2} = 0$
Так как $a>0$ и $h>a>0$, то единственное решение — это $h-2a=0$, откуда $h=2a$.

Проверим, является ли эта точка точкой минимума. При $a < h < 2a$ производная $S'(h) < 0$ (функция убывает), а при $h > 2a$ производная $S'(h) > 0$ (функция возрастает). Следовательно, при $h=2a$ площадь треугольника достигает своего минимума.

Найдем основание $b$ и минимальную площадь $S_{min}$ при $h=2a$:
$b = \frac{a(2a)}{2a-a} = \frac{2a^2}{a} = 2a$
$S_{min} = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}(2a)(2a) = 2a^2$

Таким образом, наименьшую площадь имеет равнобедренный треугольник с высотой $2a$ и основанием $2a$.

Ответ: В предположении, что требовалось найти треугольник с наименьшей площадью, его размеры: высота равна $2a$, основание равно $2a$. Минимальная площадь при этом составляет $2a^2$.