Номер 341, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Упражнения к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 341, страница 135.

№341 (с. 135)
Условие. №341 (с. 135)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 135, номер 341, Условие

340. Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, сверху завершённого полукругом. Определить радиус полукруга, при котором площадь сечения будет наибольшей, если периметр сечения равен $p$.

341. Равнобедренный треугольник описан около квадрата со стороной $a$ так, что одна сторона квадрата лежит на основании треугольника (рис. 82).

Решение 1. №341 (с. 135)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 135, номер 341, Решение 1
Решение 2. №341 (с. 135)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 135, номер 341, Решение 2 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 135, номер 341, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №341 (с. 135)

340.

Пусть $r$ — радиус полукруга, а $h$ — высота прямоугольной части тоннеля. Тогда ширина прямоугольника (и диаметр полукруга) равна $2r$.

Периметр сечения $p$ складывается из длины основания прямоугольника ($2r$), двух его боковых сторон (каждая по $h$) и длины дуги полукруга ($\pi r$).

Таким образом, формула для периметра:
$p = 2r + 2h + \pi r = (2+\pi)r + 2h$

Выразим высоту $h$ через $p$ и $r$:
$2h = p - (2+\pi)r$
$h = \frac{p - (2+\pi)r}{2}$

Площадь сечения $S$ является суммой площади прямоугольника ($S_{прям} = 2r \cdot h$) и площади полукруга ($S_{полукр} = \frac{1}{2}\pi r^2$).
$S = 2rh + \frac{1}{2}\pi r^2$

Подставим выражение для $h$ в формулу площади, чтобы получить функцию $S(r)$, зависящую только от радиуса $r$:
$S(r) = 2r \left( \frac{p - (2+\pi)r}{2} \right) + \frac{1}{2}\pi r^2$
$S(r) = r(p - (2+\pi)r) + \frac{1}{2}\pi r^2$
$S(r) = pr - (2+\pi)r^2 + \frac{1}{2}\pi r^2$
$S(r) = pr - 2r^2 - \pi r^2 + \frac{1}{2}\pi r^2$
$S(r) = pr - \left(2 + \frac{\pi}{2}\right)r^2$

Функция $S(r)$ является квадратичной параболой с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при $r^2$ отрицателен ($-(2 + \pi/2) < 0$). Ее максимум достигается в вершине параболы.

Для нахождения точки максимума найдем производную $S'(r)$ и приравняем ее к нулю:
$S'(r) = \frac{d}{dr} \left( pr - \left(2 + \frac{\pi}{2}\right)r^2 \right) = p - 2\left(2 + \frac{\pi}{2}\right)r = p - (4+\pi)r$

Приравняем производную к нулю:
$p - (4+\pi)r = 0$
$(4+\pi)r = p$
$r = \frac{p}{4+\pi}$

Так как вторая производная $S''(r) = -(4+\pi) < 0$, найденное значение $r$ действительно соответствует максимуму площади.

Ответ: Радиус полукруга должен быть равен $r = \frac{p}{4+\pi}$.


341.

Текст задачи обрывается, не содержит вопроса. Судя по контексту (задача на оптимизацию №340), наиболее вероятный вопрос — найти размеры равнобедренного треугольника, при которых его площадь будет наименьшей. Решим задачу в этой постановке.

Пусть $ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AC$. Пусть $BH$ — его высота, проведенная к основанию. Обозначим высоту $BH = h$ и основание $AC = b$. Площадь треугольника $S = \frac{1}{2}bh$.

В треугольник вписан квадрат со стороной $a$ так, что одна его сторона лежит на $AC$. Пусть вершины квадрата, лежащие на боковых сторонах $AB$ и $BC$, это $E$ и $F$ соответственно. Тогда сторона квадрата $EF$ параллельна основанию $AC$.

Рассмотрим треугольник $EBF$, который подобен треугольнику $ABC$. Высота треугольника $EBF$, проведенная из вершины $B$, равна $h-a$. Основание треугольника $EBF$ — это сторона квадрата $EF$, равная $a$.

Из подобия треугольников следует отношение их оснований и высот:
$\frac{\text{основание } EBF}{\text{основание } ABC} = \frac{\text{высота } EBF}{\text{высота } ABC}$
$\frac{a}{b} = \frac{h-a}{h}$

Из этого соотношения выразим основание $b$ через высоту $h$ и сторону квадрата $a$:
$b(h-a) = ah$
$b = \frac{ah}{h-a}$
(Отметим, что для существования такой конфигурации высота треугольника должна быть больше стороны квадрата, то есть $h > a$).

Теперь запишем площадь треугольника как функцию одной переменной $h$:
$S(h) = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} \left(\frac{ah}{h-a}\right) h = \frac{a h^2}{2(h-a)}$

Чтобы найти минимальную площадь, найдем производную функции $S(h)$ по $h$ и приравняем ее к нулю. Используем правило дифференцирования частного:
$S'(h) = \frac{a}{2} \cdot \frac{(h^2)'(h-a) - h^2(h-a)'}{(h-a)^2} = \frac{a}{2} \cdot \frac{2h(h-a) - h^2(1)}{(h-a)^2}$
$S'(h) = \frac{a}{2} \cdot \frac{2h^2 - 2ah - h^2}{(h-a)^2} = \frac{a}{2} \cdot \frac{h^2 - 2ah}{(h-a)^2} = \frac{ah(h-2a)}{2(h-a)^2}$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
$\frac{ah(h-2a)}{2(h-a)^2} = 0$
Так как $a>0$ и $h>a>0$, то единственное решение — это $h-2a=0$, откуда $h=2a$.

Проверим, является ли эта точка точкой минимума. При $a < h < 2a$ производная $S'(h) < 0$ (функция убывает), а при $h > 2a$ производная $S'(h) > 0$ (функция возрастает). Следовательно, при $h=2a$ площадь треугольника достигает своего минимума.

Найдем основание $b$ и минимальную площадь $S_{min}$ при $h=2a$:
$b = \frac{a(2a)}{2a-a} = \frac{2a^2}{a} = 2a$
$S_{min} = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}(2a)(2a) = 2a^2$

Таким образом, наименьшую площадь имеет равнобедренный треугольник с высотой $2a$ и основанием $2a$.

Ответ: В предположении, что требовалось найти треугольник с наименьшей площадью, его размеры: высота равна $2a$, основание равно $2a$. Минимальная площадь при этом составляет $2a^2$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 341 расположенного на странице 135 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №341 (с. 135), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.