Номер 337, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 337, страница 135.

Условие.

337. Из всех прямоугольных треугольников, у которых сумма одного катета и гипотенузы равна $l$, найти треугольник с наибольшей площадью.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть в прямоугольном треугольнике катеты равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. По условию задачи, сумма одного катета и гипотенузы является постоянной величиной $l$. Без ограничения общности, положим:

$a + c = l$

Площадь прямоугольного треугольника $S$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} a \cdot b$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника имеем:

$a^2 + b^2 = c^2$

Наша задача — найти такие стороны треугольника, при которых его площадь $S$ будет максимальной. Для этого выразим площадь как функцию одной переменной, например, катета $a$.

Из условия $a + c = l$ выразим гипотенузу $c$:

$c = l - a$

Из теоремы Пифагора выразим второй катет $b$:

$b = \sqrt{c^2 - a^2}$

Подставим выражение для $c$ в формулу для $b$:

$b = \sqrt{(l - a)^2 - a^2} = \sqrt{l^2 - 2la + a^2 - a^2} = \sqrt{l^2 - 2la}$

Теперь подставим выражения для $a$ и $b$ в формулу площади:

$S(a) = \frac{1}{2} a \sqrt{l^2 - 2la}$

Для нахождения максимума этой функции найдем ее производную по $a$ и приравняем к нулю. Чтобы упростить вычисления, будем максимизировать не саму площадь $S$, а ее квадрат $S^2$, так как $S > 0$ и максимум $S$ достигается при том же значении $a$, что и максимум $S^2$.

Пусть $F(a) = S^2(a)$:

$F(a) = \left( \frac{1}{2} a \sqrt{l^2 - 2la} \right)^2 = \frac{1}{4} a^2 (l^2 - 2la) = \frac{1}{4} (l^2 a^2 - 2l a^3)$

Найдем производную функции $F(a)$:

$F'(a) = \frac{d}{da} \left( \frac{1}{4} (l^2 a^2 - 2l a^3) \right) = \frac{1}{4} (2l^2 a - 6l a^2)$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$\frac{1}{4} (2l^2 a - 6l a^2) = 0$

$2l a (l - 3a) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $a = 0$ и $l - 3a = 0$. Решение $a = 0$ соответствует треугольнику с нулевой площадью, что является минимумом. Рассмотрим второе решение:

$l - 3a = 0 \implies 3a = l \implies a = \frac{l}{3}$

Чтобы убедиться, что это точка максимума, найдем вторую производную:

$F''(a) = \frac{d}{da} \left( \frac{1}{4} (2l^2 a - 6l a^2) \right) = \frac{1}{4} (2l^2 - 12la)$

Подставим значение $a = \frac{l}{3}$:

$F''\left(\frac{l}{3}\right) = \frac{1}{4} \left(2l^2 - 12l \cdot \frac{l}{3}\right) = \frac{1}{4} (2l^2 - 4l^2) = \frac{1}{4} (-2l^2) = -\frac{l^2}{2}$

Поскольку $l$ — это сумма длин, $l > 0$, то $F''\left(\frac{l}{3}\right) < 0$. Это означает, что при $a = \frac{l}{3}$ функция площади достигает своего максимума.

Теперь найдем остальные стороны треугольника:

Катет $a = \frac{l}{3}$

Гипотенуза $c = l - a = l - \frac{l}{3} = \frac{2l}{3}$

Второй катет $b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{\left(\frac{2l}{3}\right)^2 - \left(\frac{l}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{4l^2}{9} - \frac{l^2}{9}} = \sqrt{\frac{3l^2}{9}} = \frac{l\sqrt{3}}{3}$

Таким образом, треугольник с наибольшей площадью имеет катеты $\frac{l}{3}$ и $\frac{l\sqrt{3}}{3}$, и гипотенузу $\frac{2l}{3}$.

Ответ: Треугольник с наибольшей площадью — это прямоугольный треугольник, у которого катеты равны $\frac{l}{3}$ и $\frac{l\sqrt{3}}{3}$, а гипотенуза равна $\frac{2l}{3}$.