Номер 333, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 333, страница 135.

Условие.

333. Построить график функции:

1) $y=\frac{2}{x^2-4}$;

2) $y=\frac{2}{x^2+4}$;

3) $y=(x-1)^2(x+2)$;

4) $y=x(x-1)^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = \frac{2}{x^2 - 4}$

Для построения графика функции проведем ее полное исследование.

1. Область определения.

   Функция определена для всех $x$, кроме тех, где знаменатель равен нулю. $x^2 - 4 = 0 \implies (x-2)(x+2) = 0 \implies x = -2$ и $x = 2$. Следовательно, область определения: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Четность функции.

   Проверим, является ли функция четной или нечетной. $y(-x) = \frac{2}{(-x)^2 - 4} = \frac{2}{x^2 - 4} = y(x)$. Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.

   Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
   $y(0) = \frac{2}{0^2 - 4} = -\frac{2}{4} = -0.5$. Точка пересечения с осью Oy: $(0; -0.5)$.
   Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
   $\frac{2}{x^2 - 4} = 0$. Это уравнение не имеет решений, так как числитель $2 \neq 0$. График не пересекает ось Ox.

4. Асимптоты.

   Вертикальные асимптоты: возникают в точках разрыва. Прямые $x = -2$ и $x = 2$ являются вертикальными асимптотами. Исследуем поведение функции вблизи асимптот:
   $\lim_{x \to -2^-} \frac{2}{x^2 - 4} = +\infty$; $\lim_{x \to -2^+} \frac{2}{x^2 - 4} = -\infty$.
   $\lim_{x \to 2^-} \frac{2}{x^2 - 4} = -\infty$; $\lim_{x \to 2^+} \frac{2}{x^2 - 4} = +\infty$.
   Горизонтальная асимптота: исследуем поведение функции при $x \to \pm\infty$.
   $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2}{x^2 - 4} = 0$. Прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

   Найдем первую производную: $y' = \left(\frac{2}{x^2 - 4}\right)' = 2 \cdot (-(x^2-4)^{-2}) \cdot (2x) = \frac{-4x}{(x^2 - 4)^2}$.
   Приравняем производную к нулю: $y' = 0 \implies -4x = 0 \implies x = 0$. Знаменатель $(x^2-4)^2$ всегда положителен в области определения. Знак производной зависит от знака числителя $-4x$.
   При $x < 0$ (на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(-2, 0)$), $y' > 0$, функция возрастает.
   При $x > 0$ (на интервалах $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$), $y' < 0$, функция убывает.
   В точке $x=0$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = y(0) = -0.5$. Точка максимума: $(0; -0.5)$.

6. Промежутки выпуклости и точки перегиба.

   Найдем вторую производную: $y'' = \left(\frac{-4x}{(x^2 - 4)^2}\right)' = \frac{-4(x^2 - 4)^2 - (-4x) \cdot 2(x^2 - 4) \cdot 2x}{(x^2 - 4)^4} = \frac{-4(x^2 - 4) + 16x^2}{(x^2 - 4)^3} = \frac{12x^2 + 16}{(x^2 - 4)^3}$.
   Числитель $12x^2+16$ всегда положителен. Знак $y''$ зависит от знака знаменателя $(x^2 - 4)^3$.
   При $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$, $x^2-4 > 0$, $y'' > 0$. График выпуклый вниз (вогнутый).
   При $x \in (-2, 2)$, $x^2-4 < 0$, $y'' < 0$. График выпуклый вверх (выпуклый).
   Точек перегиба нет, так как $y'' \neq 0$.

Ответ: График функции состоит из трех ветвей. Он симметричен относительно оси Oy. Вертикальные асимптоты $x=-2$ и $x=2$. Горизонтальная асимптота $y=0$. На интервале $(-2, 2)$ график представляет собой "холмик", перевернутый вниз, с точкой максимума $(0, -0.5)$. На интервалах $(-\infty, -2)$ и $(2, \infty)$ ветви графика находятся выше оси Ox, приближаясь к асимптотам.

2) $y = \frac{2}{x^2 + 4}$

Проведем исследование функции для построения графика.

1. Область определения.

   Знаменатель $x^2 + 4$ всегда положителен ($x^2 \ge 0 \implies x^2+4 \ge 4$). Следовательно, функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность функции.

   $y(-x) = \frac{2}{(-x)^2 + 4} = \frac{2}{x^2 + 4} = y(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.

   Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
   $y(0) = \frac{2}{0^2 + 4} = \frac{2}{4} = 0.5$. Точка пересечения с осью Oy: $(0; 0.5)$.
   Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
   $\frac{2}{x^2 + 4} = 0$. Уравнение не имеет решений. График не пересекает ось Ox.

4. Асимптоты.

   Вертикальные асимптоты: отсутствуют, так как функция непрерывна на всей числовой оси.
   Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2}{x^2 + 4} = 0$. Прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

   Найдем первую производную: $y' = \left(\frac{2}{x^2 + 4}\right)' = \frac{-4x}{(x^2 + 4)^2}$.
   $y' = 0 \implies -4x = 0 \implies x = 0$.
   При $x < 0$, $y' > 0$, функция возрастает.
   При $x > 0$, $y' < 0$, функция убывает.
   В точке $x=0$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка локального (и глобального) максимума. $y_{max} = y(0) = 0.5$. Точка максимума: $(0; 0.5)$.

6. Промежутки выпуклости и точки перегиба.

   Найдем вторую производную: $y'' = \left(\frac{-4x}{(x^2 + 4)^2}\right)' = \frac{-4(x^2 + 4)^2 - (-4x) \cdot 2(x^2 + 4) \cdot 2x}{(x^2 + 4)^4} = \frac{-4(x^2+4) + 16x^2}{(x^2 + 4)^3} = \frac{12x^2 - 16}{(x^2 + 4)^3}$.
   $y'' = 0 \implies 12x^2 - 16 = 0 \implies x^2 = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \implies x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$.
   При $x \in (-\infty, -2/\sqrt{3}) \cup (2/\sqrt{3}, \infty)$, $y'' > 0$. График выпуклый вниз (вогнутый).
   При $x \in (-2/\sqrt{3}, 2/\sqrt{3})$, $y'' < 0$. График выпуклый вверх (выпуклый).
   Точки $x = \pm 2/\sqrt{3}$ являются точками перегиба.
   $y(\pm 2/\sqrt{3}) = \frac{2}{(4/3) + 4} = \frac{2}{16/3} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} = 0.375$. Точки перегиба: $(-2/\sqrt{3}; 3/8)$ и $(2/\sqrt{3}; 3/8)$.

Ответ: График функции представляет собой колоколообразную кривую, симметричную относительно оси Oy. Он целиком расположен выше оси Ox. Горизонтальная асимптота $y=0$. Функция достигает своего максимума в точке $(0; 0.5)$. Имеются две точки перегиба $(\pm 2/\sqrt{3}; 3/8)$.

3) $y = (x - 1)^2(x + 2)$

Это кубический многочлен. Раскроем скобки: $y = (x^2 - 2x + 1)(x + 2) = x^3 - 2x^2 + x + 2x^2 - 4x + 2 = x^3 - 3x + 2$.

1. Область определения.

   $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен.

2. Четность функции.

   $y(-x) = (-x)^3 - 3(-x) + 2 = -x^3 + 3x + 2$. $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$. Функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с осями координат.

   Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
   $y(0) = (0-1)^2(0+2) = 2$. Точка пересечения с осью Oy: $(0; 2)$.
   Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
   $(x - 1)^2(x + 2) = 0$. Корни: $x = 1$ (кратность 2) и $x = -2$ (кратность 1). Точки пересечения с осью Ox: $(1; 0)$ и $(-2; 0)$. В точке $(1; 0)$ график касается оси Ox, а в точке $(-2; 0)$ пересекает ее.

4. Асимптоты.

   Асимптот нет, так как это многочлен. $\lim_{x \to +\infty} y = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} y = -\infty$.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

   Найдем первую производную: $y' = (x^3 - 3x + 2)' = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1) = 3(x-1)(x+1)$.
   $y' = 0 \implies x = 1$ и $x = -1$.
   При $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.
   При $x \in (-1, 1)$, $y' < 0$, функция убывает.
   В точке $x=-1$ производная меняет знак с `+` на `-` - точка локального максимума. $y_{max} = y(-1) = (-1-1)^2(-1+2) = 4$. Точка максимума: $(-1; 4)$.
   В точке $x=1$ производная меняет знак с `-` на `+` - точка локального минимума. $y_{min} = y(1) = (1-1)^2(1+2) = 0$. Точка минимума: $(1; 0)$.

6. Промежутки выпуклости и точки перегиба.

   Найдем вторую производную: $y'' = (3x^2 - 3)' = 6x$.
   $y'' = 0 \implies x = 0$.
   При $x < 0$, $y'' < 0$. График выпуклый вверх (выпуклый).
   При $x > 0$, $y'' > 0$. График выпуклый вниз (вогнутый).
   В точке $x=0$ происходит смена выпуклости, значит это точка перегиба. $y(0) = 2$. Точка перегиба: $(0; 2)$.

Ответ: График функции - кубическая парабола. Он пересекает ось Ox в точке $(-2; 0)$ и касается ее в точке $(1; 0)$, которая является точкой локального минимума. Точка локального максимума находится в $(-1; 4)$. Точка перегиба - $(0; 2)$, которая также является точкой пересечения с осью Oy. При $x \to -\infty$ функция стремится к $-\infty$, при $x \to +\infty$ - к $+\infty$.

4) $y = x(x - 1)^3$

Это многочлен четвертой степени.

1. Область определения.

   $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность функции.

   $y(-x) = (-x)(-x - 1)^3 = -x(-(x+1))^3 = x(x+1)^3$. Функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с осями координат.

   Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
   $y(0) = 0(0-1)^3 = 0$. Точка пересечения с осями: $(0; 0)$.
   Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
   $x(x - 1)^3 = 0$. Корни: $x = 0$ (кратность 1) и $x = 1$ (кратность 3). Точки пересечения с осью Ox: $(0; 0)$ и $(1; 0)$. В обеих точках график пересекает ось Ox.

4. Асимптоты.

   Асимптот нет. Ведущий член многочлена $x \cdot x^3 = x^4$, поэтому $\lim_{x \to \pm\infty} y = +\infty$.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

   Найдем первую производную по правилу произведения: $y' = (x)'(x-1)^3 + x((x-1)^3)' = 1 \cdot (x-1)^3 + x \cdot 3(x-1)^2 = (x-1)^2((x-1)+3x) = (x-1)^2(4x-1)$.
   $y' = 0 \implies x = 1$ или $4x-1=0 \implies x = 1/4$.
   Множитель $(x-1)^2 \ge 0$. Знак производной определяется знаком $(4x-1)$.
   При $x < 1/4$, $y' < 0$, функция убывает.
   При $x > 1/4$, $y' > 0$, функция возрастает.
   В точке $x=1/4$ производная меняет знак с `-` на `+` - точка локального минимума. $y_{min} = y(1/4) = \frac{1}{4}(\frac{1}{4}-1)^3 = \frac{1}{4}(-\frac{3}{4})^3 = -\frac{27}{256}$. Точка минимума: $(1/4; -27/256)$.
   В точке $x=1$ производная равна нулю, но не меняет знак, значит, это не экстремум, а точка перегиба с горизонтальной касательной.

6. Промежутки выпуклости и точки перегиба.

   Найдем вторую производную: $y'' = ((x-1)^2(4x-1))' = 2(x-1)(4x-1) + (x-1)^2 \cdot 4 = 2(x-1)[(4x-1) + 2(x-1)] = 2(x-1)(6x-3) = 6(x-1)(2x-1)$.
   $y'' = 0 \implies x = 1$ или $x = 1/2$.
   При $x \in (-\infty, 1/2) \cup (1, \infty)$, $y'' > 0$. График выпуклый вниз (вогнутый).
   При $x \in (1/2, 1)$, $y'' < 0$. График выпуклый вверх (выпуклый).
   Точки $x=1/2$ и $x=1$ являются точками перегиба.
   $y(1/2) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)^3 = \frac{1}{2}(-\frac{1}{8}) = -\frac{1}{16}$. Точка перегиба: $(1/2; -1/16)$.
   $y(1) = 0$. Точка перегиба: $(1; 0)$.

Ответ: График функции имеет форму, напоминающую букву W, но сглаженную. Обе ветви уходят на $+\infty$ при $x \to \pm\infty$. График пересекает оси в точке $(0;0)$, убывает до точки локального минимума $(1/4; -27/256)$, затем возрастает. В точке $(1/2; -1/16)$ находится точка перегиба. В точке $(1; 0)$ график пересекает ось Ox, имея в этой точке горизонтальную касательную (стационарная точка перегиба).