Номер 328, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 328, страница 134.

Условие.

328. Из всех прямоугольных параллелепипедов, у которых в основании лежит квадрат и площадь полной поверхности равна $600 \text{ см}^2$, найти параллелепипед наибольшего объёма.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи по оптимизации мы будем использовать производную.

Пусть сторона квадрата, лежащего в основании прямоугольного параллелепипеда, равна $a$, а высота параллелепипеда равна $h$.

Объем параллелепипеда $V$ вычисляется по формуле:

$V = S_{осн} \cdot h = a^2 h$

Площадь полной поверхности $S$ состоит из площади двух оснований (квадратов) и площади боковой поверхности (четырех одинаковых прямоугольников):

$S = 2S_{осн} + S_{бок} = 2a^2 + 4ah$

По условию задачи, площадь полной поверхности равна 600 см²:

$2a^2 + 4ah = 600$

Наша цель — найти максимальное значение объема $V = a^2h$. Это функция двух переменных, $a$ и $h$. Чтобы найти максимум, нужно выразить одну переменную через другую, используя данное нам условие.

Выразим высоту $h$ из уравнения для площади поверхности:

$4ah = 600 - 2a^2$

$h = \frac{600 - 2a^2}{4a} = \frac{300 - a^2}{2a}$

Теперь подставим это выражение для $h$ в формулу для объема, чтобы получить функцию объема, зависящую только от одной переменной $a$:

$V(a) = a^2 \cdot h = a^2 \cdot \left(\frac{300 - a^2}{2a}\right) = \frac{a(300 - a^2)}{2} = 150a - \frac{1}{2}a^3$

Чтобы найти наибольшее значение функции $V(a)$, найдем ее производную по переменной $a$ и приравняем ее к нулю.

Находим производную $V'(a)$:

$V'(a) = (150a - \frac{1}{2}a^3)' = 150 - \frac{1}{2} \cdot 3a^2 = 150 - \frac{3}{2}a^2$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$150 - \frac{3}{2}a^2 = 0$

$\frac{3}{2}a^2 = 150$

$a^2 = \frac{150 \cdot 2}{3} = 100$

$a = \sqrt{100} = 10$

Мы берем только положительное значение, так как $a$ — это длина стороны.

Чтобы убедиться, что при $a=10$ объем будет максимальным, а не минимальным, можно проверить знак второй производной. Найдем вторую производную $V''(a)$:

$V''(a) = (150 - \frac{3}{2}a^2)' = -3a$

При $a=10$, $V''(10) = -3 \cdot 10 = -30$. Так как $V''(10) < 0$, то в точке $a=10$ функция $V(a)$ достигает максимума.

Теперь найдем высоту $h$, соответствующую этому значению $a$:

$h = \frac{300 - a^2}{2a} = \frac{300 - 10^2}{2 \cdot 10} = \frac{300 - 100}{20} = \frac{200}{20} = 10$ см.

Таким образом, параллелепипед с наибольшим объемом имеет размеры $10 \text{ см} \times 10 \text{ см} \times 10 \text{ см}$, то есть является кубом.

Найдем его объем:

$V_{max} = a^2h = 10^2 \cdot 10 = 1000$ см³.

Ответ: Параллелепипед наибольшего объема — это куб со стороной 10 см. Его объем равен 1000 см³.