Номер 321, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 321, страница 134.

Условие.

321. Найти точки экстремума функции:

1) $y = x^3 - 4x^2;$

2) $y = 3x^4 - 4x^3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = x^3 - 4x^2$

Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти ее производную, приравнять ее к нулю, найти критические точки и исследовать знак производной в окрестности этих точек.

1. Находим область определения функции. Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел $x$: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим первую производную функции:

$y' = (x^3 - 4x^2)' = 3x^2 - 4 \cdot 2x = 3x^2 - 8x$.

3. Находим критические точки. Для этого приравниваем производную к нулю. Производная существует на всей области определения, поэтому критические точки - это только те точки, в которых производная равна нулю.

$y' = 0 \implies 3x^2 - 8x = 0$

Выносим общий множитель $x$ за скобки:

$x(3x - 8) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = 8/3$

Это наши критические точки.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty; 0)$, $(0; 8/3)$ и $(8/3; +\infty)$.

- Для интервала $(-\infty; 0)$ выберем пробную точку, например $x = -1$. Подставим в производную: $y'(-1) = 3(-1)^2 - 8(-1) = 3 + 8 = 11 > 0$. Следовательно, на этом интервале функция возрастает.

- Для интервала $(0; 8/3)$ выберем пробную точку, например $x = 1$. Подставим в производную: $y'(1) = 3(1)^2 - 8(1) = 3 - 8 = -5 < 0$. Следовательно, на этом интервале функция убывает.

- Для интервала $(8/3; +\infty)$ выберем пробную точку, например $x = 3$. Подставим в производную: $y'(3) = 3(3)^2 - 8(3) = 27 - 24 = 3 > 0$. Следовательно, на этом интервале функция возрастает.

5. Определяем характер точек экстремума.

- В точке $x = 0$ знак производной меняется с «+» на «−» (функция переходит от возрастания к убыванию). Следовательно, $x = 0$ является точкой локального максимума.

- В точке $x = 8/3$ знак производной меняется с «−» на «+» (функция переходит от убывания к возрастанию). Следовательно, $x = 8/3$ является точкой локального минимума.

Ответ: $x_{\max} = 0$, $x_{\min} = 8/3$.

2) $y = 3x^4 - 4x^3$

Действуем по тому же алгоритму.

1. Область определения функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим первую производную:

$y' = (3x^4 - 4x^3)' = 3 \cdot 4x^3 - 4 \cdot 3x^2 = 12x^3 - 12x^2$.

3. Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$12x^3 - 12x^2 = 0$

Выносим общий множитель $12x^2$ за скобки:

$12x^2(x - 1) = 0$

Корни этого уравнения:

$x_1 = 0$

$x_2 = 1$

Это критические точки.

4. Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

- Для интервала $(-\infty; 0)$ выберем $x = -1$: $y'(-1) = 12(-1)^2(-1 - 1) = 12(1)(-2) = -24 < 0$. Функция убывает.

- Для интервала $(0; 1)$ выберем $x = 0.5$: $y'(0.5) = 12(0.5)^2(0.5 - 1) = 12(0.25)(-0.5) = -1.5 < 0$. Функция убывает.

- Для интервала $(1; +\infty)$ выберем $x = 2$: $y'(2) = 12(2)^2(2 - 1) = 12(4)(1) = 48 > 0$. Функция возрастает.

5. Определяем характер точек экстремума.

- В точке $x = 0$ знак производной не меняется (слева «−» и справа «−»). Следовательно, в точке $x = 0$ экстремума нет.

- В точке $x = 1$ знак производной меняется с «−» на «+» (функция переходит от убывания к возрастанию). Следовательно, $x = 1$ является точкой локального минимума.

Ответ: $x_{\min} = 1$.