Страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

319. Найти интервалы возрастания и убывания функции:

1) $y = 2x^3 + 3x^2 - 2;$

2) $y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5;$

3) $y = \frac{3}{x} - 1;$

4) $y = \frac{2}{x-3}.$

Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти область определения функции.
2. Найти производную функции $y'$.
3. Найти критические точки, в которых производная равна нулю или не существует.
4. Определить знак производной на интервалах, на которые область определения разбивается критическими точками.
5. Если на интервале $y' > 0$, то функция возрастает. Если $y' < 0$, то функция убывает.

1) $y = 2x^3 + 3x^2 - 2$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен.

2. Находим производную функции:
$y' = (2x^3 + 3x^2 - 2)' = 2 \cdot 3x^2 + 3 \cdot 2x - 0 = 6x^2 + 6x$.

3. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:
$y' = 0 \implies 6x^2 + 6x = 0$
$6x(x+1) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -1$.

4. Критические точки $-1$ и $0$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$ и $(0; +\infty)$. Определим знак производной на каждом интервале:
- На интервале $(-\infty; -1)$, возьмем $x = -2$: $y'(-2) = 6(-2)^2 + 6(-2) = 24 - 12 = 12 > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(-1; 0)$, возьмем $x = -0.5$: $y'(-0.5) = 6(-0.5)^2 + 6(-0.5) = 1.5 - 3 = -1.5 < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(0; +\infty)$, возьмем $x = 1$: $y'(1) = 6(1)^2 + 6(1) = 12 > 0$. Функция возрастает.

5. Так как функция непрерывна в точках $x=-1$ и $x=0$, их можно включить в интервалы монотонности.

Ответ: функция возрастает на интервалах $(-\infty; -1]$ и $[0; +\infty)$, убывает на интервале $[-1; 0]$.

2) $y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную:
$y' = (\frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5)' = \frac{2}{3} \cdot 3x^2 - 2x - 4 = 2x^2 - 2x - 4$.

3. Находим критические точки:
$y' = 0 \implies 2x^2 - 2x - 4 = 0$
$x^2 - x - 2 = 0$
Используя теорему Виета или формулу корней квадратного уравнения, находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.

4. Критические точки $-1$ и $2$ разбивают числовую ось на интервалы $(-\infty; -1)$, $(-1; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак производной (которая является параболой с ветвями вверх):
- На интервале $(-\infty; -1)$, возьмем $x = -2$: $y'(-2) = 2(-2)^2 - 2(-2) - 4 = 8 + 4 - 4 = 8 > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(-1; 2)$, возьмем $x = 0$: $y'(0) = 2(0)^2 - 2(0) - 4 = -4 < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(2; +\infty)$, возьмем $x = 3$: $y'(3) = 2(3)^2 - 2(3) - 4 = 18 - 6 - 4 = 8 > 0$. Функция возрастает.

5. Функция непрерывна в критических точках, поэтому их можно включить в интервалы.

Ответ: функция возрастает на интервалах $(-\infty; -1]$ и $[2; +\infty)$, убывает на интервале $[-1; 2]$.

3) $y = \frac{3}{x} - 1$

1. Область определения: знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Находим производную:
$y' = (\frac{3}{x} - 1)' = (3x^{-1} - 1)' = -3x^{-2} = -\frac{3}{x^2}$.

3. Находим критические точки.
- Уравнение $y' = 0 \implies -\frac{3}{x^2} = 0$ не имеет решений.
- Производная не существует в точке $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции.

4. Таким образом, критических точек нет. Анализируем знак производной на всей области определения.
Выражение $y' = -\frac{3}{x^2}$ всегда отрицательно для любого $x \neq 0$, так как $x^2 > 0$.
Следовательно, функция убывает на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

4) $y = \frac{2}{x-3}$

1. Область определения: $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$. $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Находим производную:
$y' = (\frac{2}{x-3})' = (2(x-3)^{-1})' = 2 \cdot (-1)(x-3)^{-2} \cdot (x-3)' = -2(x-3)^{-2} = -\frac{2}{(x-3)^2}$.

3. Находим критические точки.
- Уравнение $y' = 0 \implies -\frac{2}{(x-3)^2} = 0$ не имеет решений.
- Производная не существует в точке $x=3$, которая не входит в область определения функции.

4. Критических точек нет. Анализируем знак производной.
Выражение $y' = -\frac{2}{(x-3)^2}$ всегда отрицательно для любого $x \neq 3$, так как $(x-3)^2 > 0$.
Следовательно, функция убывает на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на интервалах $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$.

320. Найти стационарные точки функции:

1) $y = x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 1;$

2) $y = 4x^4 - 2x^2 + 3;$

3) $y = \frac{x}{3} + \frac{12}{x};$

4) $y = \cos 2x + 2\cos x.$

Стационарные точки функции — это внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю. Чтобы найти их, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти производную функции $y'$.
2. Приравнять производную к нулю ($y' = 0$) и решить полученное уравнение. Корни этого уравнения и будут стационарными точками.

1) $y = x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 1$

Находим производную функции:
$y' = (x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 1)' = 4x^3 - 4 \cdot 3x^2 - 8 \cdot 2x + 0 = 4x^3 - 12x^2 - 16x$.

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
$4x^3 - 12x^2 - 16x = 0$
Выносим общий множитель $4x$ за скобки:
$4x(x^2 - 3x - 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
- либо $4x = 0$, откуда $x_1 = 0$;
- либо $x^2 - 3x - 4 = 0$. Это квадратное уравнение, корни которого можно найти по теореме Виета: $x_2 + x_3 = 3$ и $x_2 \cdot x_3 = -4$. Подбором находим корни $x_2 = 4$ и $x_3 = -1$.

Таким образом, функция имеет три стационарные точки.
Ответ: $-1; 0; 4$.

2) $y = 4x^4 - 2x^2 + 3$

Находим производную функции:
$y' = (4x^4 - 2x^2 + 3)' = 4 \cdot 4x^3 - 2 \cdot 2x + 0 = 16x^3 - 4x$.

Приравниваем производную к нулю:
$16x^3 - 4x = 0$
Выносим за скобки $4x$:
$4x(4x^2 - 1) = 0$

Отсюда получаем:
- либо $4x = 0 \implies x_1 = 0$;
- либо $4x^2 - 1 = 0 \implies 4x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{4} \implies x_{2,3} = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}$.

Функция имеет три стационарные точки.
Ответ: $-\frac{1}{2}; 0; \frac{1}{2}$.

3) $y = \frac{x}{3} + \frac{12}{x}$

Область определения функции: все действительные числа, кроме $x=0$.
Находим производную. Для удобства запишем функцию как $y = \frac{1}{3}x + 12x^{-1}$:
$y' = (\frac{1}{3}x + 12x^{-1})' = \frac{1}{3} + 12(-1)x^{-2} = \frac{1}{3} - \frac{12}{x^2}$.

Приравниваем производную к нулю:
$\frac{1}{3} - \frac{12}{x^2} = 0$
$\frac{1}{3} = \frac{12}{x^2}$
Умножим обе части на $3x^2$ (при условии $x \neq 0$):
$x^2 = 3 \cdot 12$
$x^2 = 36$
$x = \pm 6$

Обе точки принадлежат области определения функции.
Ответ: $-6; 6$.

4) $y = \cos 2x + 2\cos x$

Находим производную, используя правило дифференцирования сложной функции:
$y' = (\cos 2x + 2\cos x)' = -(\sin 2x) \cdot (2x)' - 2\sin x = -2\sin 2x - 2\sin x$.

Приравниваем производную к нулю:
$-2\sin 2x - 2\sin x = 0$
Разделим обе части на $-2$:
$\sin 2x + \sin x = 0$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:
$2\sin x \cos x + \sin x = 0$
Вынесем общий множитель $\sin x$:
$\sin x (2\cos x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
- либо $\sin x = 0$, что дает серию решений $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целые числа).
- либо $2\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -\frac{1}{2}$. Решения этого уравнения: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, то есть $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\pi k, \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

321. Найти точки экстремума функции:

1) $y = x^3 - 4x^2;$

2) $y = 3x^4 - 4x^3.$

1) $y = x^3 - 4x^2$

Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти ее производную, приравнять ее к нулю, найти критические точки и исследовать знак производной в окрестности этих точек.

1. Находим область определения функции. Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел $x$: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим первую производную функции:

$y' = (x^3 - 4x^2)' = 3x^2 - 4 \cdot 2x = 3x^2 - 8x$.

3. Находим критические точки. Для этого приравниваем производную к нулю. Производная существует на всей области определения, поэтому критические точки - это только те точки, в которых производная равна нулю.

$y' = 0 \implies 3x^2 - 8x = 0$

Выносим общий множитель $x$ за скобки:

$x(3x - 8) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = 8/3$

Это наши критические точки.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty; 0)$, $(0; 8/3)$ и $(8/3; +\infty)$.

- Для интервала $(-\infty; 0)$ выберем пробную точку, например $x = -1$. Подставим в производную: $y'(-1) = 3(-1)^2 - 8(-1) = 3 + 8 = 11 > 0$. Следовательно, на этом интервале функция возрастает.

- Для интервала $(0; 8/3)$ выберем пробную точку, например $x = 1$. Подставим в производную: $y'(1) = 3(1)^2 - 8(1) = 3 - 8 = -5 < 0$. Следовательно, на этом интервале функция убывает.

- Для интервала $(8/3; +\infty)$ выберем пробную точку, например $x = 3$. Подставим в производную: $y'(3) = 3(3)^2 - 8(3) = 27 - 24 = 3 > 0$. Следовательно, на этом интервале функция возрастает.

5. Определяем характер точек экстремума.

- В точке $x = 0$ знак производной меняется с «+» на «−» (функция переходит от возрастания к убыванию). Следовательно, $x = 0$ является точкой локального максимума.

- В точке $x = 8/3$ знак производной меняется с «−» на «+» (функция переходит от убывания к возрастанию). Следовательно, $x = 8/3$ является точкой локального минимума.

Ответ: $x_{\max} = 0$, $x_{\min} = 8/3$.

2) $y = 3x^4 - 4x^3$

Действуем по тому же алгоритму.

1. Область определения функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим первую производную:

$y' = (3x^4 - 4x^3)' = 3 \cdot 4x^3 - 4 \cdot 3x^2 = 12x^3 - 12x^2$.

3. Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$12x^3 - 12x^2 = 0$

Выносим общий множитель $12x^2$ за скобки:

$12x^2(x - 1) = 0$

Корни этого уравнения:

$x_1 = 0$

$x_2 = 1$

Это критические точки.

4. Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

- Для интервала $(-\infty; 0)$ выберем $x = -1$: $y'(-1) = 12(-1)^2(-1 - 1) = 12(1)(-2) = -24 < 0$. Функция убывает.

- Для интервала $(0; 1)$ выберем $x = 0.5$: $y'(0.5) = 12(0.5)^2(0.5 - 1) = 12(0.25)(-0.5) = -1.5 < 0$. Функция убывает.

- Для интервала $(1; +\infty)$ выберем $x = 2$: $y'(2) = 12(2)^2(2 - 1) = 12(4)(1) = 48 > 0$. Функция возрастает.

5. Определяем характер точек экстремума.

- В точке $x = 0$ знак производной не меняется (слева «−» и справа «−»). Следовательно, в точке $x = 0$ экстремума нет.

- В точке $x = 1$ знак производной меняется с «−» на «+» (функция переходит от убывания к возрастанию). Следовательно, $x = 1$ является точкой локального минимума.

Ответ: $x_{\min} = 1$.

322. Найти точки экстремума и значения функции в этих точках:

1) $y = x^5 - 2.5x^2 + 3$;

2) $y = 0.2x^5 - 4x^2 - 3$.

1) $y = x^5 - 2.5x^2 + 3$

Для нахождения точек экстремума и значений функции в этих точках, выполним следующие шаги:

1. Найдем область определения функции. Так как функция является многочленом, область определения - все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции $y'$:

$y' = (x^5 - 2.5x^2 + 3)' = 5x^4 - 2.5 \cdot 2x = 5x^4 - 5x$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$5x^4 - 5x = 0$

$5x(x^3 - 1) = 0$

Отсюда получаем два уравнения:

$5x = 0 \implies x_1 = 0$

$x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x_2 = 1$

Критические точки: $x=0$ и $x=1$.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

- На интервале $(-\infty; 0)$ возьмем точку $x = -1$: $y'(-1) = 5(-1)^4 - 5(-1) = 5 + 5 = 10 > 0$. Функция возрастает.

- На интервале $(0; 1)$ возьмем точку $x = 0.5$: $y'(0.5) = 5(0.5)^4 - 5(0.5) = 5(0.0625) - 2.5 = 0.3125 - 2.5 = -2.1875 < 0$. Функция убывает.

- На интервале $(1; +\infty)$ возьмем точку $x = 2$: $y'(2) = 5(2)^4 - 5(2) = 5 \cdot 16 - 10 = 80 - 10 = 70 > 0$. Функция возрастает.

5. Определим точки экстремума. В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума. В точке $x=1$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума.

6. Найдем значения функции в этих точках (экстремумы функции):

- Значение в точке максимума $x_{max} = 0$: $y(0) = 0^5 - 2.5(0)^2 + 3 = 3$.

- Значение в точке минимума $x_{min} = 1$: $y(1) = 1^5 - 2.5(1)^2 + 3 = 1 - 2.5 + 3 = 1.5$.

Ответ: точка максимума $x_{max} = 0$, значение функции в этой точке $y_{max} = 3$; точка минимума $x_{min} = 1$, значение функции в этой точке $y_{min} = 1.5$.

2) $y = 0.2x^5 - 4x^2 - 3$

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции $y'$:

$y' = (0.2x^5 - 4x^2 - 3)' = 0.2 \cdot 5x^4 - 4 \cdot 2x = x^4 - 8x$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$x^4 - 8x = 0$

$x(x^3 - 8) = 0$

Отсюда получаем два уравнения:

$x_1 = 0$

$x^3 - 8 = 0 \implies x^3 = 8 \implies x_2 = 2$

Критические точки: $x=0$ и $x=2$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.

- На интервале $(-\infty; 0)$ возьмем точку $x = -1$: $y'(-1) = (-1)^4 - 8(-1) = 1 + 8 = 9 > 0$. Функция возрастает.

- На интервале $(0; 2)$ возьмем точку $x = 1$: $y'(1) = 1^4 - 8(1) = 1 - 8 = -7 < 0$. Функция убывает.

- На интервале $(2; +\infty)$ возьмем точку $x = 3$: $y'(3) = 3^4 - 8(3) = 81 - 24 = 57 > 0$. Функция возрастает.

5. Определим точки экстремума. В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума. В точке $x=2$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума.

6. Найдем значения функции в этих точках:

- Значение в точке максимума $x_{max} = 0$: $y(0) = 0.2(0)^5 - 4(0)^2 - 3 = -3$.

- Значение в точке минимума $x_{min} = 2$: $y(2) = 0.2(2)^5 - 4(2)^2 - 3 = 0.2 \cdot 32 - 4 \cdot 4 - 3 = 6.4 - 16 - 3 = -12.6$.

Ответ: точка максимума $x_{max} = 0$, значение функции в этой точке $y_{max} = -3$; точка минимума $x_{min} = 2$, значение функции в этой точке $y_{min} = -12.6$.

323. Построить график функции:

1) $y = -x^4 + 8x^2 - 16;$

2) $y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{24}x^6;$

3) $y = \frac{x^3}{3} + 3x^2;$

4) $y = \frac{x^4}{4} + x^2.$

1) $y = -x^4 + 8x^2 - 16$

Для построения графика функции проведем ее полное исследование.

• Область определения. Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность и симметрия. Проверим функцию на четность: $y(-x) = -(-x)^4 + 8(-x)^2 - 16 = -x^4 + 8x^2 - 16 = y(x)$. Функция является четной, следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).
• Точки пересечения с осями координат.
  • С осью Oy: при $x=0$ имеем $y = -16$. Точка пересечения — $(0, -16)$.
  • С осью Ox: при $y=0$ получаем уравнение $-x^4 + 8x^2 - 16 = 0$. Умножим обе части на -1: $x^4 - 8x^2 + 16 = 0$. Это выражение является полным квадратом: $(x^2 - 4)^2 = 0$. Отсюда следует, что $x^2 - 4 = 0$, то есть $x^2 = 4$, и $x = \pm 2$. Точки пересечения (касания) с осью Ox: $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.
• Асимптоты. Так как функция является многочленом, вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты отсутствуют.
• Возрастание, убывание и точки экстремума. Найдем первую производную функции: $y' = (-x^4 + 8x^2 - 16)' = -4x^3 + 16x$. Разложим на множители: $y' = -4x(x^2 - 4) = -4x(x-2)(x+2)$. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y'=0$ при $x=0$, $x=-2$, $x=2$. Определим знаки производной на интервалах:
  • На интервалах $(-\infty; -2)$ и $(0; 2)$ имеем $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
  • На интервалах $(-2; 0)$ и $(2; +\infty)$ имеем $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
  • В точке $x=-2$ возрастание сменяется убыванием, это точка максимума. $y(-2) = -(-2)^4 + 8(-2)^2 - 16 = -16 + 32 - 16 = 0$.
  • В точке $x=0$ убывание сменяется возрастанием, это точка минимума. $y(0) = -16$.
  • В точке $x=2$ возрастание сменяется убыванием, это точка максимума. $y(2) = -(2)^4 + 8(2)^2 - 16 = -16 + 32 - 16 = 0$.
• Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. Найдем вторую производную: $y'' = (-4x^3 + 16x)' = -12x^2 + 16 = -4(3x^2 - 4)$. Найдем точки, где $y''=0$: $3x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4/3 \implies x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$. Определим знаки второй производной:
  • На интервалах $(-\infty; -2/\sqrt{3})$ и $(2/\sqrt{3}; +\infty)$ имеем $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).
  • На интервале $(-2/\sqrt{3}; 2/\sqrt{3})$ имеем $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).
  • Точки $x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$ являются абсциссами точек перегиба. Найдем их ординаты: $y(\pm \frac{2}{\sqrt{3}}) = -(\frac{4}{3})^2 + 8(\frac{4}{3}) - 16 = -\frac{16}{9} + \frac{32}{3} - 16 = \frac{-16+96-144}{9} = -\frac{64}{9}$. Точки перегиба: $(\pm \frac{2}{\sqrt{3}}, -\frac{64}{9})$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси ординат. Он имеет два максимума в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$ и один минимум в точке $(0, -16)$. График касается оси абсцисс в точках максимума. Также имеются две точки перегиба $(\pm \frac{2}{\sqrt{3}}, -\frac{64}{9})$. Ветви графика уходят в $-\infty$ при $x \to \pm\infty$. Форма графика напоминает букву «М».

2) $y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{24}x^6$

Проведем исследование функции для построения графика.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность: $y(-x) = \frac{1}{4}(-x)^4 - \frac{1}{24}(-x)^6 = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{24}x^6 = y(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси Oy.
• Точки пересечения с осями:
  • С осью Oy: при $x=0$ имеем $y=0$. Точка $(0, 0)$.
  • С осью Ox: при $y=0$ имеем $\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{24}x^6 = 0 \implies \frac{x^4}{24}(6 - x^2) = 0$. Корни уравнения: $x=0$ и $x=\pm\sqrt{6}$. Точки пересечения: $(0, 0)$, $(-\sqrt{6}, 0)$ и $(\sqrt{6}, 0)$.
• Асимптоты: Отсутствуют.
• Возрастание, убывание и экстремумы: $y' = x^3 - \frac{6}{24}x^5 = x^3 - \frac{1}{4}x^5 = x^3(1 - \frac{1}{4}x^2) = \frac{x^3}{4}(4-x^2)$. Критические точки ($y'=0$): $x=0, x=\pm2$.
  • На интервалах $(-\infty; -2)$ и $(0; 2)$ имеем $y' > 0$, функция возрастает.
  • На интервалах $(-2; 0)$ и $(2; +\infty)$ имеем $y' < 0$, функция убывает.
  • $x=-2$ — точка максимума. $y(-2) = \frac{1}{4}(-2)^4 - \frac{1}{24}(-2)^6 = \frac{16}{4} - \frac{64}{24} = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$.
  • $x=0$ — точка минимума. $y(0) = 0$.
  • $x=2$ — точка максимума. $y(2) = \frac{4}{3}$.
• Выпуклость, вогнутость и точки перегиба: $y'' = 3x^2 - \frac{5}{4}x^4 = x^2(3 - \frac{5}{4}x^2)$. $y''=0$ при $x=0$ или $3 - \frac{5}{4}x^2 = 0 \implies x^2 = \frac{12}{5} \implies x = \pm\sqrt{\frac{12}{5}} = \pm \frac{2\sqrt{15}}{5}$.
  • На интервалах $(-\infty; -\sqrt{12/5})$ и $(\sqrt{12/5}; +\infty)$ имеем $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
  • На интервалах $(-\sqrt{12/5}; 0)$ и $(0; \sqrt{12/5})$ имеем $y'' > 0$, график выпуклый вниз. В точке $x=0$ знак второй производной не меняется.
  • Точки перегиба при $x = \pm\sqrt{\frac{12}{5}}$. Ординаты: $y(\pm\sqrt{\frac{12}{5}}) = \frac{1}{4}(\frac{12}{5})^2 - \frac{1}{24}(\frac{12}{5})^3 = \frac{36}{25} - \frac{72}{125} = \frac{180-72}{125} = \frac{108}{125}$. Точки: $(\pm \sqrt{\frac{12}{5}}, \frac{108}{125})$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси ординат. Ветви графика уходят в $-\infty$ при $x \to \pm\infty$. Он возрастает до максимума в точке $(-2, 4/3)$, затем убывает до минимума в точке $(0, 0)$, снова возрастает до максимума в $(2, 4/3)$ и убывает. График пересекает ось абсцисс в точках $(-\sqrt{6}, 0)$, $(0, 0)$ и $(\sqrt{6}, 0)$. Точки перегиба: $(\pm\sqrt{12/5}, 108/125)$.

3) $y = \frac{x^3}{3} + 3x^2$

Проведем исследование функции для построения графика.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность: $y(-x) = \frac{(-x)^3}{3} + 3(-x)^2 = -\frac{x^3}{3} + 3x^2$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида. Симметрии нет.
• Точки пересечения с осями:
  • С осью Oy: при $x=0$ имеем $y=0$. Точка $(0, 0)$.
  • С осью Ox: при $y=0$ имеем $\frac{x^3}{3} + 3x^2 = 0 \implies x^2(\frac{x}{3} + 3) = 0$. Корни: $x=0$ и $x=-9$. Точки: $(0, 0)$ и $(-9, 0)$.
• Асимптоты: Отсутствуют.
• Возрастание, убывание и экстремумы: $y' = (\frac{x^3}{3} + 3x^2)' = x^2 + 6x = x(x+6)$. Критические точки ($y'=0$): $x=0, x=-6$.
  • На интервалах $(-\infty; -6)$ и $(0; +\infty)$ имеем $y' > 0$, функция возрастает.
  • На интервале $(-6; 0)$ имеем $y' < 0$, функция убывает.
  • $x=-6$ — точка максимума. $y(-6) = \frac{(-6)^3}{3} + 3(-6)^2 = -72 + 108 = 36$.
  • $x=0$ — точка минимума. $y(0) = 0$.
• Выпуклость, вогнутость и точки перегиба: $y'' = (x^2 + 6x)' = 2x + 6$. $y''=0$ при $x = -3$.
  • На интервале $(-\infty; -3)$ имеем $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
  • На интервале $(-3; +\infty)$ имеем $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
  • $x = -3$ — абсцисса точки перегиба. $y(-3) = \frac{(-3)^3}{3} + 3(-3)^2 = -9 + 27 = 18$. Точка перегиба: $(-3, 18)$.

Ответ: График функции представляет собой кубическую кривую. Он пересекает оси в точках $(-9, 0)$ и $(0, 0)$. Локальный максимум находится в точке $(-6, 36)$, локальный минимум — в точке $(0, 0)$. Точка перегиба — $(-3, 18)$. При $x \to -\infty$, $y \to -\infty$, а при $x \to +\infty$, $y \to +\infty$.

4) $y = \frac{x^4}{4} + x^2$

Проведем исследование функции для построения графика.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность: $y(-x) = \frac{(-x)^4}{4} + (-x)^2 = \frac{x^4}{4} + x^2 = y(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси Oy.
• Точки пересечения с осями:
  • При $x=0$ имеем $y=0$.
  • При $y=0$ имеем $\frac{x^4}{4} + x^2 = 0 \implies x^2(\frac{x^2}{4} + 1) = 0$. Единственный действительный корень $x=0$.
  • Единственная точка пересечения с осями — начало координат $(0, 0)$.
• Асимптоты: Отсутствуют.
• Возрастание, убывание и экстремумы: $y' = (\frac{x^4}{4} + x^2)' = x^3 + 2x = x(x^2+2)$. Критическая точка ($y'=0$): $x=0$ (так как $x^2+2 > 0$ всегда).
  • На интервале $(-\infty; 0)$ имеем $y' < 0$, функция убывает.
  • На интервале $(0; +\infty)$ имеем $y' > 0$, функция возрастает.
  • $x=0$ — точка минимума. $y(0) = 0$. Это глобальный минимум, так как $y(x) = x^2(\frac{x^2}{4} + 1) \ge 0$ для всех $x$.
• Выпуклость, вогнутость и точки перегиба: $y'' = (x^3 + 2x)' = 3x^2 + 2$. Так как $y'' = 3x^2 + 2 > 0$ для всех действительных $x$, то точек перегиба нет, и график функции всегда выпуклый вниз (вогнутый вверх).

Ответ: График функции симметричен относительно оси ординат и по форме напоминает параболу, но растет быстрее при больших значениях $|x|$. Он имеет единственную точку экстремума — глобальный минимум в начале координат $(0, 0)$. Функция убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$. График всегда выпуклый вниз. Ветви графика уходят в $+\infty$ при $x \to \pm\infty$.

324. Построить график функции:

1) $y = 3x^2 - 6x + 5$ на отрезке $[0; 3];

2) $y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3$ на отрезке $[-1; 3].

1) $y = 3x^2 - 6x + 5$ на отрезке $[0; 3]$

Для построения графика данной функции на заданном отрезке проведем ее исследование.

1. Функция $y = 3x^2 - 6x + 5$ является квадратичной. Ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 3 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:
$x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

Найдем ординату вершины, подставив значение $x_v = 1$ в уравнение функции:
$y_v = 3(1)^2 - 6(1) + 5 = 3 - 6 + 5 = 2$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, 2)$. Эта точка принадлежит отрезку $[0; 3]$, так как $0 \le 1 \le 3$. В этой точке функция достигает своего наименьшего значения на всей числовой оси, а значит и на отрезке $[0; 3]$.

3. Найдем значения функции на концах отрезка $[0; 3]$:
При $x = 0$: $y(0) = 3(0)^2 - 6(0) + 5 = 5$. Получаем точку $(0, 5)$.
При $x = 3$: $y(3) = 3(3)^2 - 6(3) + 5 = 3 \cdot 9 - 18 + 5 = 27 - 18 + 5 = 14$. Получаем точку $(3, 14)$.

4. Для более точного построения графика можно найти еще одну точку, например, при $x = 2$:
$y(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 5 = 12 - 12 + 5 = 5$. Получаем точку $(2, 5)$. Эта точка симметрична точке $(0, 5)$ относительно оси симметрии параболы $x=1$.

5. Для построения графика отметим на координатной плоскости точки: $(0, 5)$, $(1, 2)$ (вершина), $(2, 5)$ и $(3, 14)$. Соединим их плавной кривой, получив часть параболы, ограниченную отрезком $[0; 3]$.

Ответ: График функции $y = 3x^2 - 6x + 5$ на отрезке $[0; 3]$ представляет собой дугу параболы с вершиной в точке $(1, 2)$, начинающуюся в точке $(0, 5)$ и заканчивающуюся в точке $(3, 14)$.

2) $y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3$ на отрезке $[-1; 3]$

Для построения графика этой функции исследуем ее с помощью производной.

1. Найдем производную функции $y'$:
$y' = (\frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - \frac{2}{3} \cdot 3x^2 = x^3 - 2x^2$.

2. Найдем критические (стационарные) точки, приравняв производную к нулю:
$y' = 0 \Rightarrow x^3 - 2x^2 = 0$
$x^2(x - 2) = 0$
Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Обе точки принадлежат заданному отрезку $[-1; 3]$.

3. Определим знаки производной на интервалах, на которые отрезок $[-1; 3]$ разбивается критическими точками, чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции:
На интервале $[-1, 0)$: $y'(-0.5) = (-0.5)^2(-0.5-2) = 0.25 \cdot (-2.5) < 0$, следовательно, функция убывает.
На интервале $(0, 2)$: $y'(1) = 1^2(1-2) = -1 < 0$, следовательно, функция убывает.
На интервале $(2, 3]$: $y'(2.5) = (2.5)^2(2.5-2) > 0$, следовательно, функция возрастает.

Так как при переходе через точку $x=2$ производная меняет знак с «–» на «+», то $x=2$ является точкой локального минимума. В точке $x=0$ производная не меняет знак, значит, в этой точке экстремума нет, это точка перегиба с горизонтальной касательной.

4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:
При $x = -1$: $y(-1) = \frac{1}{4}(-1)^4 - \frac{2}{3}(-1)^3 = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{3+8}{12} = \frac{11}{12}$. Точка $(-1, \frac{11}{12})$.
При $x = 0$: $y(0) = \frac{1}{4}(0)^4 - \frac{2}{3}(0)^3 = 0$. Точка $(0, 0)$.
При $x = 2$: $y(2) = \frac{1}{4}(2)^4 - \frac{2}{3}(2)^3 = \frac{16}{4} - \frac{16}{3} = 4 - \frac{16}{3} = \frac{12-16}{3} = -\frac{4}{3}$. Точка минимума $(2, -\frac{4}{3})$.
При $x = 3$: $y(3) = \frac{1}{4}(3)^4 - \frac{2}{3}(3)^3 = \frac{81}{4} - \frac{2 \cdot 27}{3} = \frac{81}{4} - 18 = \frac{81-72}{4} = \frac{9}{4}$. Точка $(3, \frac{9}{4})$.

5. Для построения графика отметим на координатной плоскости вычисленные точки: $(-1, \frac{11}{12}) \approx (-1, 0.92)$, $(0, 0)$, $(2, -\frac{4}{3}) \approx (2, -1.33)$ и $(3, \frac{9}{4}) = (3, 2.25)$. Соединим эти точки плавной кривой, учитывая характер поведения функции: убывание на отрезке $[-1, 2]$ и возрастание на отрезке $[2, 3]$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3$ на отрезке $[-1; 3]$ представляет собой кривую, которая начинается в точке $(-1, \frac{11}{12})$, убывает, проходя через точку перегиба $(0, 0)$, достигает своего минимума в точке $(2, -\frac{4}{3})$, а затем возрастает до точки $(3, \frac{9}{4})$.

325. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $f(x)=x^3-6x^2+9$ на отрезке $[-2; 2];$

2) $f(x)=x^3+6x^2+9x$ на отрезке $[-4; 0];$

3) $f(x)=x^4-2x^2+3$ на отрезке $[-4; 3];$

4) $f(x)=x^4-8x^2+5$ на отрезке $[-3; 2].$

1) Для функции $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9$ на отрезке $[-2; 2]$ найдем наибольшее и наименьшее значения, следуя алгоритму:
1. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 9)' = 3x^2 - 12x$.
2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:
$3x^2 - 12x = 0$
$3x(x - 4) = 0$
Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
3. Проверяем, какие из критических точек принадлежат заданному отрезку $[-2; 2]$.
Точка $x_1 = 0$ принадлежит отрезку $[-2; 2]$.
Точка $x_2 = 4$ не принадлежит отрезку $[-2; 2]$.
4. Вычисляем значения функции в критической точке, принадлежащей отрезку, и на концах отрезка:
$f(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 9 = 9$
$f(-2) = (-2)^3 - 6(-2)^2 + 9 = -8 - 6(4) + 9 = -8 - 24 + 9 = -23$
$f(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 9 = 8 - 6(4) + 9 = 8 - 24 + 9 = -7$
5. Сравниваем полученные значения: $9$, $-23$, $-7$.
Наибольшее значение функции на отрезке равно 9, а наименьшее равно -23.
Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 9$, наименьшее значение $y_{наим} = -23$.

2) Для функции $f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x$ на отрезке $[-4; 0]$ найдем наибольшее и наименьшее значения:
1. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^3 + 6x^2 + 9x)' = 3x^2 + 12x + 9$.
2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$3x^2 + 12x + 9 = 0$
Делим обе части на 3: $x^2 + 4x + 3 = 0$.
Корни этого квадратного уравнения (по теореме Виета или через дискриминант): $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$.
3. Обе критические точки, $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$, принадлежат отрезку $[-4; 0]$.
4. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка:
$f(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 9(-1) = -1 + 6 - 9 = -4$
$f(-3) = (-3)^3 + 6(-3)^2 + 9(-3) = -27 + 54 - 27 = 0$
$f(-4) = (-4)^3 + 6(-4)^2 + 9(-4) = -64 + 6(16) - 36 = -64 + 96 - 36 = -4$
$f(0) = 0^3 + 6(0)^2 + 9(0) = 0$
5. Сравниваем полученные значения: $-4$, $0$, $-4$, $0$.
Наибольшее значение функции на отрезке равно 0, а наименьшее равно -4.
Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 0$, наименьшее значение $y_{наим} = -4$.

3) Для функции $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$ на отрезке $[-4; 3]$ найдем наибольшее и наименьшее значения:
1. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^4 - 2x^2 + 3)' = 4x^3 - 4x$.
2. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:
$4x^3 - 4x = 0$
$4x(x^2 - 1) = 0$
$4x(x - 1)(x + 1) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.
3. Все три критические точки принадлежат отрезку $[-4; 3]$.
4. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка:
$f(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 3 = 3$
$f(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$
$f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$
$f(-4) = (-4)^4 - 2(-4)^2 + 3 = 256 - 2(16) + 3 = 256 - 32 + 3 = 227$
$f(3) = 3^4 - 2(3)^2 + 3 = 81 - 2(9) + 3 = 81 - 18 + 3 = 66$
5. Сравниваем полученные значения: $3$, $2$, $2$, $227$, $66$.
Наибольшее значение функции на отрезке равно 227, а наименьшее равно 2.
Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 227$, наименьшее значение $y_{наим} = 2$.

4) Для функции $f(x) = x^4 - 8x^2 + 5$ на отрезке $[-3; 2]$ найдем наибольшее и наименьшее значения:
1. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^4 - 8x^2 + 5)' = 4x^3 - 16x$.
2. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:
$4x^3 - 16x = 0$
$4x(x^2 - 4) = 0$
$4x(x - 2)(x + 2) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.
3. Все три критические точки принадлежат отрезку $[-3; 2]$ (точка $x=2$ является также концом отрезка).
4. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка:
$f(0) = 0^4 - 8(0)^2 + 5 = 5$
$f(2) = 2^4 - 8(2)^2 + 5 = 16 - 8(4) + 5 = 16 - 32 + 5 = -11$
$f(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 5 = 16 - 8(4) + 5 = 16 - 32 + 5 = -11$
$f(-3) = (-3)^4 - 8(-3)^2 + 5 = 81 - 8(9) + 5 = 81 - 72 + 5 = 14$
5. Сравниваем полученные значения: $5$, $-11$, $-11$, $14$.
Наибольшее значение функции на отрезке равно 14, а наименьшее равно -11.
Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 14$, наименьшее значение $y_{наим} = -11$.

326. Доказать, что из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, наибольший периметр имеет равносторонний треугольник.

Пусть дан круг радиуса $R$ с центром в точке $O$. Рассмотрим вписанный в него равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC=a$ и равными боковыми сторонами $AB=AC=b$. Периметр такого треугольника равен $P = a + 2b$.

Наша задача — найти, при каких условиях этот периметр будет максимальным. Выразим стороны треугольника через радиус $R$ и один независимый параметр. В качестве такого параметра удобно взять половину угла при вершине $A$, противолежащей основанию. Пусть $\angle OAC = \angle OAB = \alpha$. Тогда угол при вершине $\angle BAC = 2\alpha$.

Поскольку треугольник $ABC$ вписан в окружность, его стороны можно выразить через радиус описанной окружности $R$ и противолежащие углы по теореме синусов.

Углы при основании равны: $\angle ABC = \angle ACB = \frac{180^\circ - 2\alpha}{2} = 90^\circ - \alpha$, или в радианах $\frac{\pi - 2\alpha}{2} = \frac{\pi}{2} - \alpha$.

По теореме синусов для треугольника $ABC$:
$\frac{a}{\sin(2\alpha)} = 2R \implies a = 2R \sin(2\alpha)$
$\frac{b}{\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)} = 2R \implies b = 2R \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = 2R \cos(\alpha)$

Теперь запишем периметр $P$ как функцию от угла $\alpha$:
$P(\alpha) = a + 2b = 2R \sin(2\alpha) + 2(2R \cos(\alpha)) = 2R(\sin(2\alpha) + 2\cos(\alpha))$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, получим:
$P(\alpha) = 2R(2\sin(\alpha)\cos(\alpha) + 2\cos(\alpha)) = 4R\cos(\alpha)(1 + \sin(\alpha))$

Угол $\alpha$ может изменяться в пределах $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ (чтобы треугольник был невырожденным). Для нахождения максимального значения функции $P(\alpha)$ на этом интервале найдем ее производную по $\alpha$ и приравняем к нулю.

$P'(\alpha) = \frac{d}{d\alpha} [4R(\cos(\alpha) + 2\sin(\alpha)\cos(\alpha))] = 4R\frac{d}{d\alpha} [\cos(\alpha) + \sin(2\alpha)]$
$P'(\alpha) = 4R(-\sin(\alpha) + 2\cos(2\alpha))$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
$4R(-\sin(\alpha) + 2\cos(2\alpha)) = 0$
$2\cos(2\alpha) = \sin(\alpha)$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$:
$2(1 - 2\sin^2(\alpha)) = \sin(\alpha)$
$2 - 4\sin^2(\alpha) = \sin(\alpha)$
$4\sin^2(\alpha) + \sin(\alpha) - 2 = 0$

Сделаем замену $t = \sin(\alpha)$. Так как $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то $0 < t < 1$.
$4t^2 + t - 2 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = 1^2 - 4(4)(-2) = 1 + 32 = 33$
$t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{8}$

Так как $t = \sin(\alpha)$ должно быть положительным, нам подходит только корень $t = \frac{-1 + \sqrt{33}}{8}$. Этот корень удовлетворяет условию $0 < t < 1$, так как $5 < \sqrt{33} < 6$, следовательно $4 < -1 + \sqrt{33} < 5$, и $0.5 < \frac{-1 + \sqrt{33}}{8} < 0.625$.

Значение $\sin(\alpha) = \frac{-1 + \sqrt{33}}{8}$ соответствует единственной критической точке в нашем интервале. Чтобы убедиться, что это точка максимума, можно проверить знак производной.
$P'(\alpha) = 4R(4\sin^2(\alpha) + \sin(\alpha) - 2)$. При переходе через корень $\frac{-1 + \sqrt{33}}{8}$ знак параболы $4t^2+t-2$ меняется с плюса на минус, значит, это точка максимума.

Давайте проверим, не соответствует ли этот результат равностороннему треугольнику. Для равностороннего треугольника все углы равны $60^\circ$ или $\frac{\pi}{3}$.
Угол при вершине $2\alpha = \frac{\pi}{3}$, значит $\alpha = \frac{\pi}{6}$.
Найдем значение $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Подставим $t = \frac{1}{2}$ в уравнение $4t^2 + t - 2 = 0$:
$4(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} - 2 = 4(\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} - 2 = 1 + \frac{1}{2} - 2 = -\frac{1}{2} \neq 0$.
Это означает, что в вычислениях производной допущена ошибка. Вернемся к более простому виду производной.

$P'(\alpha) = 4R(-\sin(\alpha) + \cos(2\alpha))$
Приравняем к нулю:
$\cos(2\alpha) = \sin(\alpha)$
Используем тождество $\sin(\alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:
$\cos(2\alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$
В интервале $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, это равенство выполняется, когда аргументы равны:
$2\alpha = \frac{\pi}{2} - \alpha$
$3\alpha = \frac{\pi}{2}$
$\alpha = \frac{\pi}{6}$

Это значение $\alpha$ соответствует единственной критической точке. Проверим, что это максимум, с помощью второй производной:
$P''(\alpha) = \frac{d}{d\alpha}[4R(-\sin(\alpha) + \cos(2\alpha))] = 4R(-\cos(\alpha) - 2\sin(2\alpha))$
При $\alpha = \frac{\pi}{6}$:
$P''(\frac{\pi}{6}) = 4R(-\cos(\frac{\pi}{6}) - 2\sin(\frac{\pi}{3})) = 4R(-\frac{\sqrt{3}}{2} - 2\frac{\sqrt{3}}{2}) = 4R(-\frac{3\sqrt{3}}{2}) = -6R\sqrt{3}$

Поскольку $R > 0$, вторая производная $P''(\frac{\pi}{6}) < 0$, что подтверждает, что при $\alpha = \frac{\pi}{6}$ периметр достигает своего максимального значения.

Найдем углы треугольника при $\alpha = \frac{\pi}{6}$:
Угол при вершине: $\angle BAC = 2\alpha = 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$.
Углы при основании: $\angle ABC = \angle ACB = \frac{\pi}{2} - \alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$.

Все углы треугольника равны $60^\circ$, следовательно, треугольник является равносторонним. Таким образом, из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, наибольший периметр имеет равносторонний треугольник.

Ответ:Доказано, что периметр $P(\alpha)$ равнобедренного треугольника, вписанного в окружность радиуса $R$, является функцией от половины угла при вершине $\alpha$, и эта функция достигает своего единственного максимума на интервале $(0, \pi/2)$ при $\alpha=\pi/6$. Это значение соответствует треугольнику, у которого все углы равны $60^\circ$, то есть равностороннему треугольнику.

327. Из всех равнобедренных треугольников с периметром p найти треугольник с наибольшей площадью.

Пусть дан равнобедренный треугольник, в котором боковые стороны равны $a$, а основание равно $b$. Периметр $P$ этого треугольника задан и равен $p$.

Периметр треугольника определяется формулой:$P = 2a + b$По условию $P = p$, следовательно:$2a + b = p$Отсюда можно выразить боковую сторону $a$ через основание $b$:$2a = p - b$$a = \frac{p - b}{2}$

Для существования треугольника необходимо выполнение неравенства треугольника: сумма двух любых сторон должна быть больше третьей.$a + a > b \Rightarrow 2a > b$Подставив выражение для $2a$, получим:$p - b > b \Rightarrow p > 2b \Rightarrow b < \frac{p}{2}$Также стороны должны быть положительными, то есть $a > 0$ и $b > 0$. Из $a = \frac{p-b}{2} > 0$ следует, что $p - b > 0$, то есть $b < p$. Условие $b < \frac{p}{2}$ является более строгим, поэтому областью определения для $b$ будет интервал $0 < b < \frac{p}{2}$.

Площадь треугольника $S$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Проведем высоту $h$ к основанию $b$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка длиной $\frac{b}{2}$.По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой и половиной основания:$a^2 = h^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2$Отсюда выразим высоту $h$:$h = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}}$Подставим выражение для $a$:$h = \sqrt{\left(\frac{p - b}{2}\right)^2 - \frac{b^2}{4}} = \sqrt{\frac{p^2 - 2pb + b^2}{4} - \frac{b^2}{4}} = \sqrt{\frac{p^2 - 2pb}{4}} = \frac{\sqrt{p^2 - 2pb}}{2}$

Теперь запишем формулу для площади $S$ как функцию от переменной $b$:$S(b) = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} b \cdot \frac{\sqrt{p^2 - 2pb}}{2} = \frac{b}{4}\sqrt{p^2 - 2pb}$

Чтобы найти значение $b$, при котором площадь максимальна, нужно исследовать функцию $S(b)$ на максимум. Так как площадь $S$ является неотрицательной величиной, её максимум будет достигаться при том же значении $b$, что и максимум её квадрата $S^2(b)$. Это упрощает вычисления, так как избавляет от квадратного корня.Рассмотрим функцию $f(b) = S^2(b)$:$f(b) = \left(\frac{b}{4}\sqrt{p^2 - 2pb}\right)^2 = \frac{b^2}{16}(p^2 - 2pb) = \frac{p^2b^2 - 2pb^3}{16}$

Найдем производную функции $f(b)$ по переменной $b$:$f'(b) = \frac{1}{16}(2p^2b - 6pb^2)$Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:$f'(b) = 0$$\frac{1}{16}(2p^2b - 6pb^2) = 0$$2p^2b - 6pb^2 = 0$$2pb(p - 3b) = 0$Это уравнение имеет два решения: $b = 0$ и $p - 3b = 0$.Решение $b = 0$ соответствует вырожденному треугольнику с нулевой площадью, что является минимумом.Второе решение:$p - 3b = 0 \Rightarrow 3b = p \Rightarrow b = \frac{p}{3}$Эта точка $b = \frac{p}{3}$ принадлежит области определения $0 < b < \frac{p}{2}$, так как $0 < \frac{p}{3} < \frac{p}{2}$.

Чтобы убедиться, что это точка максимума, найдем вторую производную:$f''(b) = \frac{d}{db}\left(\frac{1}{16}(2p^2b - 6pb^2)\right) = \frac{1}{16}(2p^2 - 12pb)$Подставим значение $b = \frac{p}{3}$ во вторую производную:$f''\left(\frac{p}{3}\right) = \frac{1}{16}\left(2p^2 - 12p\left(\frac{p}{3}\right)\right) = \frac{1}{16}(2p^2 - 4p^2) = \frac{-2p^2}{16} = -\frac{p^2}{8}$Так как периметр $p > 0$, то $p^2 > 0$, и следовательно $f''\left(\frac{p}{3}\right) < 0$. Это означает, что при $b = \frac{p}{3}$ функция $f(b)$, а значит и площадь $S(b)$, достигает своего максимума.

Найдем длину боковой стороны $a$:$a = \frac{p - b}{2} = \frac{p - \frac{p}{3}}{2} = \frac{\frac{2p}{3}}{2} = \frac{p}{3}$Таким образом, все стороны треугольника равны:$a = b = \frac{p}{3}$Следовательно, равнобедренный треугольник с наибольшей площадью при заданном периметре является равносторонним.

Ответ: Треугольник с наибольшей площадью — равносторонний треугольник со стороной $a = \frac{p}{3}$.

328. Из всех прямоугольных параллелепипедов, у которых в основании лежит квадрат и площадь полной поверхности равна $600 \text{ см}^2$, найти параллелепипед наибольшего объёма.

Для решения этой задачи по оптимизации мы будем использовать производную.

Пусть сторона квадрата, лежащего в основании прямоугольного параллелепипеда, равна $a$, а высота параллелепипеда равна $h$.

Объем параллелепипеда $V$ вычисляется по формуле:

$V = S_{осн} \cdot h = a^2 h$

Площадь полной поверхности $S$ состоит из площади двух оснований (квадратов) и площади боковой поверхности (четырех одинаковых прямоугольников):

$S = 2S_{осн} + S_{бок} = 2a^2 + 4ah$

По условию задачи, площадь полной поверхности равна 600 см²:

$2a^2 + 4ah = 600$

Наша цель — найти максимальное значение объема $V = a^2h$. Это функция двух переменных, $a$ и $h$. Чтобы найти максимум, нужно выразить одну переменную через другую, используя данное нам условие.

Выразим высоту $h$ из уравнения для площади поверхности:

$4ah = 600 - 2a^2$

$h = \frac{600 - 2a^2}{4a} = \frac{300 - a^2}{2a}$

Теперь подставим это выражение для $h$ в формулу для объема, чтобы получить функцию объема, зависящую только от одной переменной $a$:

$V(a) = a^2 \cdot h = a^2 \cdot \left(\frac{300 - a^2}{2a}\right) = \frac{a(300 - a^2)}{2} = 150a - \frac{1}{2}a^3$

Чтобы найти наибольшее значение функции $V(a)$, найдем ее производную по переменной $a$ и приравняем ее к нулю.

Находим производную $V'(a)$:

$V'(a) = (150a - \frac{1}{2}a^3)' = 150 - \frac{1}{2} \cdot 3a^2 = 150 - \frac{3}{2}a^2$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$150 - \frac{3}{2}a^2 = 0$

$\frac{3}{2}a^2 = 150$

$a^2 = \frac{150 \cdot 2}{3} = 100$

$a = \sqrt{100} = 10$

Мы берем только положительное значение, так как $a$ — это длина стороны.

Чтобы убедиться, что при $a=10$ объем будет максимальным, а не минимальным, можно проверить знак второй производной. Найдем вторую производную $V''(a)$:

$V''(a) = (150 - \frac{3}{2}a^2)' = -3a$

При $a=10$, $V''(10) = -3 \cdot 10 = -30$. Так как $V''(10) < 0$, то в точке $a=10$ функция $V(a)$ достигает максимума.

Теперь найдем высоту $h$, соответствующую этому значению $a$:

$h = \frac{300 - a^2}{2a} = \frac{300 - 10^2}{2 \cdot 10} = \frac{300 - 100}{20} = \frac{200}{20} = 10$ см.

Таким образом, параллелепипед с наибольшим объемом имеет размеры $10 \text{ см} \times 10 \text{ см} \times 10 \text{ см}$, то есть является кубом.

Найдем его объем:

$V_{max} = a^2h = 10^2 \cdot 10 = 1000$ см³.

Ответ: Параллелепипед наибольшего объема — это куб со стороной 10 см. Его объем равен 1000 см³.

329. Найти асимптоты графика функции:

1) $f(x) = \frac{(x-1)^3}{x^2}$;

2) $f(x) = \frac{x^4}{x^3-1}$.

1) Для функции $f(x) = \frac{(x-1)^3}{x^2}$

Поиск вертикальных асимптот

Вертикальные асимптоты могут существовать в точках разрыва функции. Данная функция является дробно-рациональной, поэтому точки разрыва — это нули знаменателя.

Приравняем знаменатель к нулю: $x^2 = 0 \implies x = 0$.

Найдем предел функции при $x$, стремящемся к 0, чтобы проверить, является ли прямая $x=0$ вертикальной асимптотой:

$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{(x-1)^3}{x^2}$

При $x \to 0$ числитель $(x-1)^3 \to (0-1)^3 = -1$.

Знаменатель $x^2 \to 0$, причем $x^2 > 0$ при $x \neq 0$.

Следовательно, $\lim_{x \to 0} \frac{(x-1)^3}{x^2} = \frac{-1}{+0} = -\infty$.

Так как предел в точке $x=0$ равен бесконечности, прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой.

Поиск наклонных и горизонтальных асимптот

Наклонная асимптота имеет уравнение $y = kx + b$, где:

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$ и $b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx)$.

Сначала найдем коэффициент $k$:

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x-1)^3}{x^2}}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(x-1)^3}{x^3} = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x-1}{x}\right)^3 = \lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^3 = (1-0)^3 = 1$.

Теперь найдем коэффициент $b$:

$b = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{(x-1)^3}{x^2} - 1 \cdot x\right) = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 1}{x^2} - \frac{x^3}{x^2}\right)$

$b = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - x^3}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3x^2 + 3x - 1}{x^2}$

Разделим числитель и знаменатель на старшую степень $x$, то есть на $x^2$:

$b = \lim_{x \to \infty} \frac{-3 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^2}}{1} = -3$.

Пределы при $x \to -\infty$ дадут те же самые значения для $k$ и $b$.

Таким образом, существует наклонная асимптота $y = 1 \cdot x - 3$, или $y = x - 3$.

Поскольку $k \neq 0$, горизонтальных асимптот у графика функции нет.

Ответ: вертикальная асимптота $x=0$, наклонная асимптота $y=x-3$.

2) Для функции $f(x) = \frac{x^4}{x^3-1}$

Поиск вертикальных асимптот

Найдем точки разрыва, приравняв знаменатель к нулю:

$x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x = 1$.

Найдем односторонние пределы функции при $x \to 1$:

При $x \to 1^+$ (справа), $x > 1$, поэтому $x^3 > 1$ и $x^3-1 > 0$.

$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^4}{x^3-1} = \frac{1^4}{+0} = +\infty$.

При $x \to 1^-$ (слева), $x < 1$, поэтому $x^3 < 1$ и $x^3-1 < 0$.

$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^4}{x^3-1} = \frac{1^4}{-0} = -\infty$.

Так как односторонние пределы равны бесконечности, прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой.

Поиск наклонных и горизонтальных асимптот

Ищем асимптоту вида $y = kx + b$.

Найдем коэффициент $k$:

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^4}{x^3-1}}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^4}{x(x^3-1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^4}{x^4-x}$

Разделим числитель и знаменатель на $x^4$:

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 - \frac{1}{x^3}} = \frac{1}{1-0} = 1$.

Теперь найдем коэффициент $b$:

$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^4}{x^3-1} - 1 \cdot x\right) = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^4 - x(x^3-1)}{x^3-1}\right)$

$b = \lim_{x \to \infty} \frac{x^4 - x^4 + x}{x^3-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^3-1}$

Разделим числитель и знаменатель на $x^3$:

$b = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^3}} = \frac{0}{1-0} = 0$.

Пределы при $x \to -\infty$ дадут те же самые значения для $k$ и $b$.

Таким образом, существует наклонная асимптота $y = 1 \cdot x + 0$, или $y = x$.

Поскольку $k \neq 0$, горизонтальных асимптот у графика функции нет.

Ответ: вертикальная асимптота $x=1$, наклонная асимптота $y=x$.

330. Доказать, что функция $y = 1.8x^5 - 2\frac{1}{3}x^3 + 7x + 12.5$ возрастает на всей области определения.

Для того чтобы доказать, что функция возрастает на всей области определения, необходимо найти ее производную и доказать, что она неотрицательна (в данном случае — строго положительна) для всех значений x из области определения.

Заданная функция: $y = 1,8x^5 - 2\frac{1}{3}x^3 + 7x + 12,5$.

Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел, так как это многочлен. То есть, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Для удобства вычислений представим коэффициенты в виде обыкновенных дробей:
$1,8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$
$2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$
Таким образом, функция имеет вид: $y = \frac{9}{5}x^5 - \frac{7}{3}x^3 + 7x + 12,5$.

Найдем производную функции $y'$:
$y' = (\frac{9}{5}x^5 - \frac{7}{3}x^3 + 7x + 12,5)'$
$y' = \frac{9}{5} \cdot (x^5)' - \frac{7}{3} \cdot (x^3)' + 7 \cdot (x)' + (12,5)'$
$y' = \frac{9}{5} \cdot 5x^4 - \frac{7}{3} \cdot 3x^2 + 7 \cdot 1 + 0$
$y' = 9x^4 - 7x^2 + 7$

Теперь необходимо исследовать знак производной $y' = 9x^4 - 7x^2 + 7$. Если $y' > 0$ для всех x, то функция возрастает.

Выражение для производной является биквадратным. Сделаем замену переменной, пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.
После замены получаем квадратичную функцию от переменной t:
$g(t) = 9t^2 - 7t + 7$

Рассмотрим эту квадратичную функцию $g(t)$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при старшей степени $a=9$ положителен. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $9t^2 - 7t + 7$:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 7 = 49 - 252 = -203$

Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a > 0$, квадратный трехчлен $9t^2 - 7t + 7$ принимает только положительные значения при любых действительных значениях t.

Следовательно, $g(t) > 0$ для всех t. Так как $t=x^2$, то и производная $y' = 9x^4 - 7x^2 + 7$ строго больше нуля при всех действительных значениях x.

Поскольку производная функции $y'$ положительна на всей области определения, то функция $y(x)$ строго возрастает на всей области определения, то есть на интервале $(-\infty; +\infty)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Производная функции $y' = 9x^4 - 7x^2 + 7$. Это выражение положительно при всех $x \in R$, так как если сделать замену $t = x^2$, то полученный квадратный трехчлен $g(t)=9t^2 - 7t + 7$ имеет отрицательный дискриминант ($D=-203$) и положительный старший коэффициент ($a=9$). А раз производная функции всегда положительна, то сама функция возрастает на всей своей области определения.

331. Доказать, что функция $y=x(1+2\sqrt{x})$ возрастает на всей области определения.

Чтобы доказать, что функция возрастает на всей своей области определения, мы сначала найдем эту область, а затем вычислим производную функции и проанализируем её знак.

1. Нахождение области определения функции

Данная функция $y = x(1 + 2\sqrt{x})$. В её записи присутствует квадратный корень $\sqrt{x}$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, поэтому $x \ge 0$.Таким образом, область определения функции: $D(y) = [0, +\infty)$.

2. Вычисление производной

Для удобства дифференцирования сначала раскроем скобки в выражении функции:$y = x \cdot 1 + x \cdot 2\sqrt{x} = x + 2x \cdot x^{1/2} = x + 2x^{3/2}$.

Теперь найдем производную $y'(x)$, используя правила дифференцирования (производная суммы и производная степенной функции):$y' = (x + 2x^{3/2})' = (x)' + (2x^{3/2})' = 1 + 2 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = 1 + 3x^{1/2} = 1 + 3\sqrt{x}$.

3. Анализ знака производной

Функция возрастает на промежутке, если её производная на этом промежутке неотрицательна (и не равна нулю тождественно). Проанализируем знак производной $y' = 1 + 3\sqrt{x}$ на области определения $[0, +\infty)$.

Для любого $x$ из области определения ($x \ge 0$), значение квадратного корня $\sqrt{x}$ также неотрицательно: $\sqrt{x} \ge 0$.Следовательно, выражение $3\sqrt{x}$ также будет неотрицательным: $3\sqrt{x} \ge 0$.Прибавив 1 к обеим частям этого неравенства, получим:$y' = 1 + 3\sqrt{x} \ge 1 + 0 = 1$.

Поскольку производная функции $y'(x) \ge 1$, то есть она строго положительна для всех значений $x$ из области определения, функция $y = x(1 + 2\sqrt{x})$ является строго возрастающей на всей своей области определения $[0, +\infty)$.Что и требовалось доказать.

Ответ: Производная функции $y' = 1 + 3\sqrt{x}$ положительна на всей области определения $x \in [0, +\infty)$, следовательно, функция является возрастающей на всей области определения.