Номер 322, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 322, страница 134.

Условие.

322. Найти точки экстремума и значения функции в этих точках:

1) $y = x^5 - 2.5x^2 + 3$;

2) $y = 0.2x^5 - 4x^2 - 3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = x^5 - 2.5x^2 + 3$

Для нахождения точек экстремума и значений функции в этих точках, выполним следующие шаги:

1. Найдем область определения функции. Так как функция является многочленом, область определения - все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции $y'$:

$y' = (x^5 - 2.5x^2 + 3)' = 5x^4 - 2.5 \cdot 2x = 5x^4 - 5x$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$5x^4 - 5x = 0$

$5x(x^3 - 1) = 0$

Отсюда получаем два уравнения:

$5x = 0 \implies x_1 = 0$

$x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x_2 = 1$

Критические точки: $x=0$ и $x=1$.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

- На интервале $(-\infty; 0)$ возьмем точку $x = -1$: $y'(-1) = 5(-1)^4 - 5(-1) = 5 + 5 = 10 > 0$. Функция возрастает.

- На интервале $(0; 1)$ возьмем точку $x = 0.5$: $y'(0.5) = 5(0.5)^4 - 5(0.5) = 5(0.0625) - 2.5 = 0.3125 - 2.5 = -2.1875 < 0$. Функция убывает.

- На интервале $(1; +\infty)$ возьмем точку $x = 2$: $y'(2) = 5(2)^4 - 5(2) = 5 \cdot 16 - 10 = 80 - 10 = 70 > 0$. Функция возрастает.

5. Определим точки экстремума. В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума. В точке $x=1$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума.

6. Найдем значения функции в этих точках (экстремумы функции):

- Значение в точке максимума $x_{max} = 0$: $y(0) = 0^5 - 2.5(0)^2 + 3 = 3$.

- Значение в точке минимума $x_{min} = 1$: $y(1) = 1^5 - 2.5(1)^2 + 3 = 1 - 2.5 + 3 = 1.5$.

Ответ: точка максимума $x_{max} = 0$, значение функции в этой точке $y_{max} = 3$; точка минимума $x_{min} = 1$, значение функции в этой точке $y_{min} = 1.5$.

2) $y = 0.2x^5 - 4x^2 - 3$

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции $y'$:

$y' = (0.2x^5 - 4x^2 - 3)' = 0.2 \cdot 5x^4 - 4 \cdot 2x = x^4 - 8x$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$x^4 - 8x = 0$

$x(x^3 - 8) = 0$

Отсюда получаем два уравнения:

$x_1 = 0$

$x^3 - 8 = 0 \implies x^3 = 8 \implies x_2 = 2$

Критические точки: $x=0$ и $x=2$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.

- На интервале $(-\infty; 0)$ возьмем точку $x = -1$: $y'(-1) = (-1)^4 - 8(-1) = 1 + 8 = 9 > 0$. Функция возрастает.

- На интервале $(0; 2)$ возьмем точку $x = 1$: $y'(1) = 1^4 - 8(1) = 1 - 8 = -7 < 0$. Функция убывает.

- На интервале $(2; +\infty)$ возьмем точку $x = 3$: $y'(3) = 3^4 - 8(3) = 81 - 24 = 57 > 0$. Функция возрастает.

5. Определим точки экстремума. В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума. В точке $x=2$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума.

6. Найдем значения функции в этих точках:

- Значение в точке максимума $x_{max} = 0$: $y(0) = 0.2(0)^5 - 4(0)^2 - 3 = -3$.

- Значение в точке минимума $x_{min} = 2$: $y(2) = 0.2(2)^5 - 4(2)^2 - 3 = 0.2 \cdot 32 - 4 \cdot 4 - 3 = 6.4 - 16 - 3 = -12.6$.

Ответ: точка максимума $x_{max} = 0$, значение функции в этой точке $y_{max} = -3$; точка минимума $x_{min} = 2$, значение функции в этой точке $y_{min} = -12.6$.