Номер 320, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 320, страница 134.

Условие.

320. Найти стационарные точки функции:

1) $y = x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 1;$

2) $y = 4x^4 - 2x^2 + 3;$

3) $y = \frac{x}{3} + \frac{12}{x};$

4) $y = \cos 2x + 2\cos x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Стационарные точки функции — это внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю. Чтобы найти их, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти производную функции $y'$.
2. Приравнять производную к нулю ($y' = 0$) и решить полученное уравнение. Корни этого уравнения и будут стационарными точками.

1) $y = x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 1$

Находим производную функции:
$y' = (x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 1)' = 4x^3 - 4 \cdot 3x^2 - 8 \cdot 2x + 0 = 4x^3 - 12x^2 - 16x$.

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
$4x^3 - 12x^2 - 16x = 0$
Выносим общий множитель $4x$ за скобки:
$4x(x^2 - 3x - 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
- либо $4x = 0$, откуда $x_1 = 0$;
- либо $x^2 - 3x - 4 = 0$. Это квадратное уравнение, корни которого можно найти по теореме Виета: $x_2 + x_3 = 3$ и $x_2 \cdot x_3 = -4$. Подбором находим корни $x_2 = 4$ и $x_3 = -1$.

Таким образом, функция имеет три стационарные точки.
Ответ: $-1; 0; 4$.

2) $y = 4x^4 - 2x^2 + 3$

Находим производную функции:
$y' = (4x^4 - 2x^2 + 3)' = 4 \cdot 4x^3 - 2 \cdot 2x + 0 = 16x^3 - 4x$.

Приравниваем производную к нулю:
$16x^3 - 4x = 0$
Выносим за скобки $4x$:
$4x(4x^2 - 1) = 0$

Отсюда получаем:
- либо $4x = 0 \implies x_1 = 0$;
- либо $4x^2 - 1 = 0 \implies 4x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{4} \implies x_{2,3} = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}$.

Функция имеет три стационарные точки.
Ответ: $-\frac{1}{2}; 0; \frac{1}{2}$.

3) $y = \frac{x}{3} + \frac{12}{x}$

Область определения функции: все действительные числа, кроме $x=0$.
Находим производную. Для удобства запишем функцию как $y = \frac{1}{3}x + 12x^{-1}$:
$y' = (\frac{1}{3}x + 12x^{-1})' = \frac{1}{3} + 12(-1)x^{-2} = \frac{1}{3} - \frac{12}{x^2}$.

Приравниваем производную к нулю:
$\frac{1}{3} - \frac{12}{x^2} = 0$
$\frac{1}{3} = \frac{12}{x^2}$
Умножим обе части на $3x^2$ (при условии $x \neq 0$):
$x^2 = 3 \cdot 12$
$x^2 = 36$
$x = \pm 6$

Обе точки принадлежат области определения функции.
Ответ: $-6; 6$.

4) $y = \cos 2x + 2\cos x$

Находим производную, используя правило дифференцирования сложной функции:
$y' = (\cos 2x + 2\cos x)' = -(\sin 2x) \cdot (2x)' - 2\sin x = -2\sin 2x - 2\sin x$.

Приравниваем производную к нулю:
$-2\sin 2x - 2\sin x = 0$
Разделим обе части на $-2$:
$\sin 2x + \sin x = 0$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:
$2\sin x \cos x + \sin x = 0$
Вынесем общий множитель $\sin x$:
$\sin x (2\cos x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
- либо $\sin x = 0$, что дает серию решений $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целые числа).
- либо $2\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -\frac{1}{2}$. Решения этого уравнения: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, то есть $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\pi k, \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.