Номер 316, страница 133 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 4. Производная второго порядка, выпуклость и точка перегиба - номер 316, страница 133.

Условие.

316. 1) $y=(x+3)\sqrt{x}$;

2) $y=\frac{(x+1)^3}{x^2}$;

3) $y=x^2 \ln x$;

4) $y=\frac{x^2}{(x+2)^3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения производной функции $y = (x+3)\sqrt{x}$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций $u(x) = x+3$ и $v(x) = \sqrt{x}$. Правило произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Сначала найдем производные каждой из функций:
$u'(x) = (x+3)' = 1$.
$v'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Теперь подставим найденные производные в формулу правила произведения:
$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \sqrt{x} + (x+3) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{x+3}{2\sqrt{x}}$.
Приведем выражение к общему знаменателю $2\sqrt{x}$:
$y' = \frac{\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{x+3}{2\sqrt{x}} = \frac{2x + x + 3}{2\sqrt{x}} = \frac{3x+3}{2\sqrt{x}}$.
Вынесем общий множитель 3 за скобки в числителе:
$y' = \frac{3(x+1)}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $y' = \frac{3(x+1)}{2\sqrt{x}}$.

2) Для нахождения производной функции $y = \frac{(x+1)^3}{x^2}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного (дроби). Пусть $u(x) = (x+1)^3$ и $v(x) = x^2$. Правило частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$. Для $u(x)$ применим правило дифференцирования сложной функции:
$u'(x) = ((x+1)^3)' = 3(x+1)^{3-1} \cdot (x+1)' = 3(x+1)^2 \cdot 1 = 3(x+1)^2$.
$v'(x) = (x^2)' = 2x$.
Подставим производные в формулу:
$y' = \frac{3(x+1)^2 \cdot x^2 - (x+1)^3 \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{3x^2(x+1)^2 - 2x(x+1)^3}{x^4}$.
Вынесем за скобки общий множитель $x(x+1)^2$ в числителе:
$y' = \frac{x(x+1)^2 [3x - 2(x+1)]}{x^4}$.
Сократим дробь на $x$ и упростим выражение в квадратных скобках:
$y' = \frac{(x+1)^2 (3x - 2x - 2)}{x^3} = \frac{(x+1)^2(x-2)}{x^3}$.

Ответ: $y' = \frac{(x-2)(x+1)^2}{x^3}$.

3) Для нахождения производной функции $y = x^2 \ln x$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций $u(x) = x^2$ и $v(x) = \ln x$. Правило произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$:
$u'(x) = (x^2)' = 2x$.
$v'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.
Подставим производные в формулу:
$y' = u'v + uv' = 2x \cdot \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x}$.
Упростим второе слагаемое:
$y' = 2x \ln x + x$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$y' = x(2\ln x + 1)$.

Ответ: $y' = x(2\ln x + 1)$.

4) Для нахождения производной функции $y = \frac{x^2}{(x+2)^3}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного. Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = (x+2)^3$. Правило частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$. Для $v(x)$ применим правило дифференцирования сложной функции:
$u'(x) = (x^2)' = 2x$.
$v'(x) = ((x+2)^3)' = 3(x+2)^{3-1} \cdot (x+2)' = 3(x+2)^2 \cdot 1 = 3(x+2)^2$.
Подставим производные в формулу:
$y' = \frac{2x \cdot (x+2)^3 - x^2 \cdot 3(x+2)^2}{((x+2)^3)^2} = \frac{2x(x+2)^3 - 3x^2(x+2)^2}{(x+2)^6}$.
Вынесем за скобки общий множитель $x(x+2)^2$ в числителе:
$y' = \frac{x(x+2)^2 [2(x+2) - 3x]}{(x+2)^6}$.
Сократим дробь на $(x+2)^2$ и упростим выражение в квадратных скобках:
$y' = \frac{x(2x + 4 - 3x)}{(x+2)^4} = \frac{x(4-x)}{(x+2)^4}$.

Ответ: $y' = \frac{x(4-x)}{(x+2)^4}$.