Номер 311, страница 133 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

311. Найти асимптоты графика функции:

1) $f(x) = \frac{(x+3)^3}{(x-1)^2}$;

2) $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 3}$.

Для нахождения асимптот графика функции мы проверим наличие вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот.

1) $f(x) = \frac{(x+3)^3}{(x-1)^2}$

Вертикальные асимптоты:

Они возникают в точках, где знаменатель равен нулю, а числитель — нет. В данном случае это точка $x = 1$.

Проверим пределы: $\lim_{x \to 1} \frac{(x+3)^3}{(x-1)^2} = \frac{64}{+0} = +\infty$.

Следовательно, прямая $x = 1$ — вертикальная асимптота.

Горизонтальные и наклонные асимптоты:

Так как степень числителя (3) на единицу больше степени знаменателя (2), у функции будет наклонная асимптота вида $y = kx + b$. Найдем коэффициенты:

$$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(x+3)^3}{x(x-1)^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 9x^2 + \dots}{x^3 - 2x^2 + \dots} = 1$$

$$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{(x+3)^3}{(x-1)^2} - x \right)$$

Приведем к общему знаменателю: $\frac{x^3 + 9x^2 + 27x + 27 - x(x^2 - 2x + 1)}{(x-1)^2} = \frac{x^3 + 9x^2 + 27x + 27 - x^3 + 2x^2 - x}{(x-1)^2} = \frac{11x^2 + 26x + 27}{x^2 - 2x + 1}$

Предел при $x \to \infty$ равен отношению коэффициентов при $x^2$: $b = 11$.

Следовательно, прямая $y = x + 11$ — наклонная асимптота.

2) $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 3}$

Вертикальные асимптоты:

Функция определена при $x^2 + 4x + 3 \ge 0$, то есть на $(-\infty, -3] \cup [-1, +\infty)$. Точек разрыва второго рода нет, поэтому вертикальных асимптот нет.

Наклонные асимптоты ($y = kx + b$):

Здесь нужно рассмотреть два случая: при $x \to +\infty$ и при $x \to -\infty$.

Случай $x \to +\infty$:

$k_1 = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2+4x+3}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{x^2+4x+3}{x^2}} = 1$.

$b_1 = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+4x+3} - x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{(x^2+4x+3) - x^2}{\sqrt{x^2+4x+3} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{4x+3}{\sqrt{x^2+4x+3} + x} = \frac{4}{1+1} = 2$.

Асимптота справа: $y = x + 2$.

Случай $x \to -\infty$:

$k_2 = \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2+4x+3}}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{|x|\sqrt{1+4/x+3/x^2}}{x} = -1$ (так как $|x| = -x$).

$b_2 = \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+4x+3} + x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2+4x+3 - x^2}{\sqrt{x^2+4x+3} - x} = \frac{4x+3}{-x-x} = -2$.

Асимптота слева: $y = -x - 2$.