Номер 311, страница 133 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 4. Производная второго порядка, выпуклость и точка перегиба. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 311, страница 133.

Условие.

311. Найти асимптоты графика функции:

1) $f(x) = \frac{(x+3)^3}{(x-1)^2}$;

2) $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Найдём асимптоты для функции $f(x) = \frac{(x+3)^3}{(x-1)^2}$.

Вертикальные асимптоты.
Вертикальные асимптоты могут существовать в точках разрыва функции. Данная функция не определена, когда знаменатель равен нулю.
$(x-1)^2 = 0 \implies x = 1$.
Найдём односторонние пределы функции при $x \to 1$:
$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{(x+3)^3}{(x-1)^2}$
При $x \to 1$, числитель $(x+3)^3 \to (1+3)^3 = 64$.
Знаменатель $(x-1)^2 \to 0$, причем $(x-1)^2 > 0$ при $x \ne 1$.
Следовательно, $\lim_{x \to 1} \frac{(x+3)^3}{(x-1)^2} = \frac{64}{+0} = +\infty$.
Так как предел равен бесконечности, прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты.
Ищем асимптоты вида $y = kx+b$ при $x \to \pm\infty$.
Коэффициент $k$ находится по формуле:
$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(x+3)^3}{x(x-1)^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 9x^2 + \dots}{x(x^2 - 2x + 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 9x^2 + \dots}{x^3 - 2x^2 + \dots}$
Поскольку степени многочленов в числителе и знаменателе равны 3, предел равен отношению коэффициентов при старших степенях:
$k = \frac{1}{1} = 1$.
Коэффициент $b$ находится по формуле:
$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{(x+3)^3}{(x-1)^2} - x\right)$
Раскроем скобки и приведём к общему знаменателю:
$b = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^3 + 9x^2 + 27x + 27}{x^2 - 2x + 1} - x\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 9x^2 + 27x + 27 - x(x^2-2x+1)}{x^2 - 2x + 1}$
$b = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 9x^2 + 27x + 27 - x^3 + 2x^2 - x}{x^2 - 2x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{11x^2 + 26x + 27}{x^2 - 2x + 1}$
Степени многочленов в числителе и знаменателе равны 2, поэтому предел равен отношению коэффициентов при старших степенях:
$b = \frac{11}{1} = 11$.
Таким образом, прямая $y=x+11$ является наклонной асимптотой при $x \to \pm\infty$.

Ответ: вертикальная асимптота $x=1$, наклонная асимптота $y=x+11$.

---

2) Найдём асимптоты для функции $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 3}$.

Область определения.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 + 4x + 3 \ge 0$.
Найдём корни уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -3$, $x_2 = -1$.
Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [-1, +\infty)$.

Вертикальные асимптоты.
Функция является непрерывной на всей своей области определения. Точек разрыва, где предел мог бы быть бесконечным, нет. Следовательно, вертикальных асимптот нет.

Наклонные асимптоты.
Ищем асимптоты вида $y = kx+b$. Поскольку область определения состоит из двух интервалов, идущих в $+\infty$ и $-\infty$, нужно рассмотреть два случая.

Случай 1: $x \to +\infty$
$k_1 = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^