Номер 304, страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 4. Производная второго порядка, выпуклость и точка перегиба - номер 304, страница 126.

Условие.

304. Найти интервалы выпуклости вверх и интервалы выпуклости вниз функции:

1) $f(x) = x^5 - 10x^2 + 3x + 1;$

2) $f(x) = x^4 - 6x^2 + 3x + 4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения интервалов выпуклости функции $f(x) = x^5 - 10x^2 + 3x + 1$ необходимо исследовать знак ее второй производной. Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

Сначала найдем первую, а затем вторую производную функции:
$f'(x) = (x^5 - 10x^2 + 3x + 1)' = 5x^4 - 20x + 3$
$f''(x) = (5x^4 - 20x + 3)' = 20x^3 - 20$

Найдем точки возможного перегиба, приравняв вторую производную к нулю:
$20x^3 - 20 = 0$
$20(x^3 - 1) = 0$
$x^3 = 1$
$x = 1$

Точка $x=1$ делит числовую прямую на два интервала: $(-\infty, 1)$ и $(1, +\infty)$. Определим знак $f''(x)$ на каждом из них. Если $f''(x) < 0$, функция выпукла вверх (вогнутая). Если $f''(x) > 0$, функция выпукла вниз (выпуклая).

• На интервале $(-\infty, 1)$, выбрав пробную точку $x=0$, получаем $f''(0) = 20(0)^3 - 20 = -20 < 0$. Следовательно, на этом интервале функция выпукла вверх.

• На интервале $(1, +\infty)$, выбрав пробную точку $x=2$, получаем $f''(2) = 20(2)^3 - 20 = 20 \cdot 8 - 20 = 140 > 0$. Следовательно, на этом интервале функция выпукла вниз.

Ответ: функция выпукла вверх на интервале $(-\infty, 1)$, выпукла вниз на интервале $(1, +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = x^4 - 6x^2 + 3x + 4$ проведем аналогичное исследование. Область определения — $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

Найдем производные:
$f'(x) = (x^4 - 6x^2 + 3x + 4)' = 4x^3 - 12x + 3$
$f''(x) = (4x^3 - 12x + 3)' = 12x^2 - 12$

Найдем точки возможного перегиба, приравняв вторую производную к нулю:
$12x^2 - 12 = 0$
$12(x^2 - 1) = 0$
$x^2 = 1 \implies x = \pm 1$

Точки $x=-1$ и $x=1$ делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, +\infty)$. Определим знак $f''(x)$ на каждом из них.

• На интервале $(-\infty, -1)$, например при $x=-2$: $f''(-2) = 12((-2)^2 - 1) = 12(3) = 36 > 0$. Следовательно, функция выпукла вниз.

• На интервале $(-1, 1)$, например при $x=0$: $f''(0) = 12(0^2 - 1) = -12 < 0$. Следовательно, функция выпукла вверх.

• На интервале $(1, +\infty)$, например при $x=2$: $f''(2) = 12(2^2 - 1) = 12(3) = 36 > 0$. Следовательно, функция выпукла вниз.

Ответ: функция выпукла вверх на интервале $(-1, 1)$, выпукла вниз на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$.