Номер 300, страница 121 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 3. Наибольшее и наименьшее значения функции. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 300, страница 121.

Условие.

300. Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точку $A(1; 2)$ и отсекающей от первого координатного угла треугольник наименьшей площади.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть искомая прямая имеет угловой коэффициент $k$. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку $A(1; 2)$ с угловым коэффициентом $k$, имеет вид:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

$y - 2 = k(x - 1)$

Эта прямая отсекает от первого координатного угла прямоугольный треугольник. Найдем точки пересечения этой прямой с осями координат, чтобы определить длины катетов этого треугольника.

1. Пересечение с осью $Oy$ (осью ординат). При этом $x=0$.

$y - 2 = k(0 - 1)$

$y - 2 = -k$

$y = 2 - k$

Так как прямая отсекает треугольник от первого координатного угла, точка пересечения с осью $Oy$ должна иметь положительную ординату. Обозначим ее $b$.

$b = 2 - k > 0 \implies k < 2$

2. Пересечение с осью $Ox$ (осью абсцисс). При этом $y=0$.

$0 - 2 = k(x - 1)$

$-2 = kx - k$

$kx = k - 2$

$x = \frac{k-2}{k} = 1 - \frac{2}{k}$

Точка пересечения с осью $Ox$ также должна иметь положительную абсциссу. Обозначим ее $a$.

$a = 1 - \frac{2}{k} > 0$

Из условия $k < 2$ следует, что $k-2 < 0$. Чтобы дробь $\frac{k-2}{k}$ была положительной, необходимо, чтобы знаменатель $k$ также был отрицательным. Таким образом, угловой коэффициент должен быть $k < 0$.

Площадь $S$ прямоугольного треугольника, отсекаемого прямой от координатного угла, равна половине произведения его катетов $a$ и $b$:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot (1 - \frac{2}{k}) \cdot (2 - k)$

Мы получили функцию площади $S(k)$, зависящую от углового коэффициента $k$. Раскроем скобки, чтобы упростить выражение:

$S(k) = \frac{1}{2} (2 - k - \frac{4}{k} + 2) = \frac{1}{2} (4 - k - \frac{4}{k}) = 2 - \frac{k}{2} - \frac{2}{k}$

Чтобы найти наименьшую площадь, нужно найти минимум функции $S(k)$ при $k < 0$. Для этого найдем производную функции $S(k)$ по переменной $k$ и приравняем ее к нулю.

$S'(k) = (2 - \frac{k}{2} - \frac{2}{k})' = 0 - \frac{1}{2} - 2(-1)k^{-2} = -\frac{1}{2} + \frac{2}{k^2}$

Приравняем производную к нулю:

$S'(k) = 0$

$-\frac{1}{2} + \frac{2}{k^2} = 0$

$\frac{2}{k^2} = \frac{1}{2}$

$k^2 = 4$

$k = \pm 2$

Согласно ранее полученному условию, угловой коэффициент должен быть отрицательным ($k < 0$). Следовательно, выбираем значение $k = -2$.

Чтобы убедиться, что это точка минимума, найдем вторую производную:

$S''(k) = (-\frac{1}{2} + 2k^{-2})' = -4k^{-3} = -\frac{4}{k^3}$

При $k = -2$, вторая производная $S''(-2) = -\frac{4}{(-2)^3} = -\frac{4}{-8} = \frac{1}{2} > 0$, что подтверждает, что при $k=-2$ функция площади $S(k)$ имеет минимум.

Ответ: -2