Номер 293, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 3. Наибольшее и наименьшее значения функции. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 293, страница 120.

№293 (с. 120)
Условие. №293 (с. 120)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 120, номер 293, Условие

293. Найти наименьшее значение функции:

1) $e^{3x} - 3x$ на интервале $(-1; 1);

2) $\frac{1}{x} + \ln x$ на интервале $(0; 2).

Решение 1. №293 (с. 120)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 120, номер 293, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 120, номер 293, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 2. №293 (с. 120)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 120, номер 293, Решение 2
Решение 3. №293 (с. 120)

1) Чтобы найти наименьшее значение функции $y = e^{3x} - 3x$ на интервале $(-1; 1)$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции.
$y' = (e^{3x} - 3x)' = (e^{3x})' \cdot (3x)' - (3x)' = e^{3x} \cdot 3 - 3 = 3e^{3x} - 3$.

2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю.
$3e^{3x} - 3 = 0$
$3e^{3x} = 3$
$e^{3x} = 1$
Поскольку $e^0 = 1$, то $3x = 0$, откуда $x = 0$.

3. Проверить, принадлежит ли критическая точка заданному интервалу.
Точка $x = 0$ принадлежит интервалу $(-1; 1)$.

4. Определить знак производной на интервалах, на которые критическая точка разбивает область определения.
Для $x \in (-1; 0)$, например, при $x = -0.5$, $y' = 3e^{3(-0.5)} - 3 = 3e^{-1.5} - 3 < 0$, так как $e^{-1.5} < 1$. Следовательно, функция убывает.
Для $x \in (0; 1)$, например, при $x = 0.5$, $y' = 3e^{3(0.5)} - 3 = 3e^{1.5} - 3 > 0$, так как $e^{1.5} > 1$. Следовательно, функция возрастает.

Поскольку функция убывает до точки $x=0$ и возрастает после нее, в точке $x=0$ находится точка минимума. Так как это единственная критическая точка на интервале, это и есть точка наименьшего значения.

5. Вычислить значение функции в точке минимума.
$y(0) = e^{3 \cdot 0} - 3 \cdot 0 = e^0 - 0 = 1$.

Ответ: 1.

2) Чтобы найти наименьшее значение функции $y = \frac{1}{x} + \ln x$ на интервале $(0; 2)$, выполним следующие шаги:

1. Найти производную функции. Область определения функции $x > 0$.
$y' = (\frac{1}{x} + \ln x)' = (x^{-1})' + (\ln x)' = -1 \cdot x^{-2} + \frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$.

2. Найти критические точки.
$-\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} = 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{-1+x}{x^2} = 0$
Поскольку $x \ne 0$, то $-1 + x = 0$, откуда $x=1$.

3. Проверить, принадлежит ли критическая точка заданному интервалу.
Точка $x=1$ принадлежит интервалу $(0; 2)$.

4. Определить знак производной.
Знак производной $y' = \frac{x-1}{x^2}$ зависит только от знака числителя $(x-1)$, так как знаменатель $x^2$ всегда положителен для $x \in (0; 2)$.
Если $x \in (0; 1)$, то $x-1 < 0$, значит $y' < 0$ (функция убывает).
Если $x \in (1; 2)$, то $x-1 > 0$, значит $y' > 0$ (функция возрастает).

Следовательно, в точке $x=1$ функция достигает своего минимума. Это единственная точка экстремума на интервале, поэтому здесь функция принимает наименьшее значение.

5. Вычислить значение функции в этой точке.
$y(1) = \frac{1}{1} + \ln 1 = 1 + 0 = 1$.

Ответ: 1.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 293 расположенного на странице 120 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №293 (с. 120), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.