Номер 293, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 3. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 293, страница 120.

Условие.

293. Найти наименьшее значение функции:

1) $e^{3x} - 3x$ на интервале $(-1; 1);

2) $\frac{1}{x} + \ln x$ на интервале $(0; 2).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы найти наименьшее значение функции $y = e^{3x} - 3x$ на интервале $(-1; 1)$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции.
$y' = (e^{3x} - 3x)' = (e^{3x})' \cdot (3x)' - (3x)' = e^{3x} \cdot 3 - 3 = 3e^{3x} - 3$.

2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю.
$3e^{3x} - 3 = 0$
$3e^{3x} = 3$
$e^{3x} = 1$
Поскольку $e^0 = 1$, то $3x = 0$, откуда $x = 0$.

3. Проверить, принадлежит ли критическая точка заданному интервалу.
Точка $x = 0$ принадлежит интервалу $(-1; 1)$.

4. Определить знак производной на интервалах, на которые критическая точка разбивает область определения.
Для $x \in (-1; 0)$, например, при $x = -0.5$, $y' = 3e^{3(-0.5)} - 3 = 3e^{-1.5} - 3 < 0$, так как $e^{-1.5} < 1$. Следовательно, функция убывает.
Для $x \in (0; 1)$, например, при $x = 0.5$, $y' = 3e^{3(0.5)} - 3 = 3e^{1.5} - 3 > 0$, так как $e^{1.5} > 1$. Следовательно, функция возрастает.

Поскольку функция убывает до точки $x=0$ и возрастает после нее, в точке $x=0$ находится точка минимума. Так как это единственная критическая точка на интервале, это и есть точка наименьшего значения.

5. Вычислить значение функции в точке минимума.
$y(0) = e^{3 \cdot 0} - 3 \cdot 0 = e^0 - 0 = 1$.

Ответ: 1.

2) Чтобы найти наименьшее значение функции $y = \frac{1}{x} + \ln x$ на интервале $(0; 2)$, выполним следующие шаги:

1. Найти производную функции. Область определения функции $x > 0$.
$y' = (\frac{1}{x} + \ln x)' = (x^{-1})' + (\ln x)' = -1 \cdot x^{-2} + \frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$.

2. Найти критические точки.
$-\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} = 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{-1+x}{x^2} = 0$
Поскольку $x \ne 0$, то $-1 + x = 0$, откуда $x=1$.

3. Проверить, принадлежит ли критическая точка заданному интервалу.
Точка $x=1$ принадлежит интервалу $(0; 2)$.

4. Определить знак производной.
Знак производной $y' = \frac{x-1}{x^2}$ зависит только от знака числителя $(x-1)$, так как знаменатель $x^2$ всегда положителен для $x \in (0; 2)$.
Если $x \in (0; 1)$, то $x-1 < 0$, значит $y' < 0$ (функция убывает).
Если $x \in (1; 2)$, то $x-1 > 0$, значит $y' > 0$ (функция возрастает).

Следовательно, в точке $x=1$ функция достигает своего минимума. Это единственная точка экстремума на интервале, поэтому здесь функция принимает наименьшее значение.

5. Вычислить значение функции в этой точке.
$y(1) = \frac{1}{1} + \ln 1 = 1 + 0 = 1$.

Ответ: 1.