Номер 292, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 3. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 292, страница 120.

Условие.

292. Найти наибольшее значение функции:

1) $3\sqrt{x}-x\sqrt{x}$ на промежутке $x>0$;

2) $3x-2\sqrt{x}$ на промежутке $x>0$;

3) $\ln x-x$ на промежутке $x>0$;

4) $2x-e^{2x}$ на интервале $(-1; 1)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $3\sqrt{x} - x\sqrt{x}$ на промежутке $x > 0$

Для нахождения наибольшего значения функции $y(x) = 3\sqrt{x} - x\sqrt{x}$ на промежутке $(0, +\infty)$, мы будем использовать производную.

1. Перепишем функцию в виде степеней: $y(x) = 3x^{1/2} - x^{3/2}$.

2. Найдем производную функции $y(x)$:
$y'(x) = (3x^{1/2} - x^{3/2})' = 3 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3}{2\sqrt{x}} - \frac{3\sqrt{x}}{2}$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$y'(x) = 0$
$\frac{3}{2\sqrt{x}} - \frac{3\sqrt{x}}{2} = 0$
$\frac{3}{2\sqrt{x}} = \frac{3\sqrt{x}}{2}$
$3 \cdot 2 = 3\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}$
$6 = 6x$
$x = 1$.

Критическая точка $x=1$ принадлежит заданному промежутку $(0, +\infty)$.

4. Определим знак производной на интервалах $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$. $y'(x) = \frac{3 - 3x}{2\sqrt{x}}$.
При $x \in (0, 1)$, числитель $3-3x > 0$, знаменатель $2\sqrt{x} > 0$, следовательно $y'(x) > 0$. Функция возрастает.
При $x \in (1, +\infty)$, числитель $3-3x < 0$, знаменатель $2\sqrt{x} > 0$, следовательно $y'(x) < 0$. Функция убывает.

Поскольку функция возрастает до $x=1$ и убывает после, точка $x=1$ является точкой максимума. Так как это единственная критическая точка на промежутке, это глобальный максимум.

5. Вычислим значение функции в точке максимума:
$y(1) = 3\sqrt{1} - 1\cdot\sqrt{1} = 3 - 1 = 2$.

Ответ: 2

2) $3x - 2x\sqrt{x}$ на промежутке $x > 0$

Для нахождения наибольшего значения функции $y(x) = 3x - 2x\sqrt{x}$ на промежутке $(0, +\infty)$, найдем ее критические точки.

1. Перепишем функцию в виде степеней: $y(x) = 3x - 2x^{3/2}$.

2. Найдем производную функции $y(x)$:
$y'(x) = (3x - 2x^{3/2})' = 3 - 2 \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} = 3 - 3\sqrt{x}$.

3. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
$y'(x) = 0$
$3 - 3\sqrt{x} = 0$
$3\sqrt{x} = 3$
$\sqrt{x} = 1$
$x = 1$.

Критическая точка $x=1$ принадлежит заданному промежутку $(0, +\infty)$.

4. Определим знак производной $y'(x) = 3(1 - \sqrt{x})$.
При $x \in (0, 1)$, имеем $\sqrt{x} < 1$, поэтому $y'(x) > 0$. Функция возрастает.
При $x \in (1, +\infty)$, имеем $\sqrt{x} > 1$, поэтому $y'(x) < 0$. Функция убывает.

Следовательно, в точке $x=1$ функция достигает своего максимума.

5. Вычислим значение функции в этой точке:
$y(1) = 3(1) - 2(1)\sqrt{1} = 3 - 2 = 1$.

Ответ: 1

3) $\ln x - x$ на промежутке $x > 0$

Найдем наибольшее значение функции $y(x) = \ln x - x$ на ее области определения $(0, +\infty)$.

1. Найдем производную функции $y(x)$:
$y'(x) = (\ln x - x)' = \frac{1}{x} - 1$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $y'(x) = 0$:
$\frac{1}{x} - 1 = 0$
$\frac{1}{x} = 1$
$x = 1$.

Критическая точка $x=1$ находится в заданном промежутке.

3. Определим знак производной. $y'(x) = \frac{1-x}{x}$. Так как $x>0$, знак производной определяется знаком числителя $1-x$.
При $x \in (0, 1)$, $1-x > 0$, значит $y'(x) > 0$. Функция возрастает.
При $x \in (1, +\infty)$, $1-x < 0$, значит $y'(x) < 0$. Функция убывает.

Таким образом, $x=1$ является точкой максимума.

4. Найдем значение функции в точке максимума:
$y(1) = \ln(1) - 1 = 0 - 1 = -1$.

Ответ: -1

4) $2x - e^{2x}$ на интервале $(-1; 1)$

Рассмотрим функцию $y(x) = 2x - e^{2x}$ на интервале $(-1, 1)$.

1. Найдем производную функции:
$y'(x) = (2x - e^{2x})' = 2 - e^{2x} \cdot 2 = 2(1 - e^{2x})$.

2. Найдем критические точки из уравнения $y'(x) = 0$:
$2(1 - e^{2x}) = 0$
$1 - e^{2x} = 0$
$e^{2x} = 1$
$2x = \ln(1)$
$2x = 0$
$x = 0$.

Критическая точка $x=0$ принадлежит интервалу $(-1, 1)$.

3. Исследуем знак производной на интервалах $(-1, 0)$ и $(0, 1)$.
При $x \in (-1, 0)$, $2x < 0$, тогда $e^{2x} < 1$, и $y'(x) = 2(1 - e^{2x}) > 0$. Функция возрастает.
При $x \in (0, 1)$, $2x > 0$, тогда $e^{2x} > 1$, и $y'(x) = 2(1 - e^{2x}) < 0$. Функция убывает.

Следовательно, в точке $x=0$ функция достигает своего наибольшего значения на данном интервале.

4. Вычислим это значение:
$y(0) = 2(0) - e^{2 \cdot 0} = 0 - e^0 = 0 - 1 = -1$.

Ответ: -1