Номер 290, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 3. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 290, страница 120.

Условие.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции (290–291).

290. 1) $f(x)=x-2\ln x$ на отрезке $\left[\frac{3}{2}; e\right];$

2) $f(x)=x+e^{-x}$ на отрезке $[-1; 2].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x - 2\ln x$ на отрезке $[\frac{3}{2}; e]$, нужно выполнить следующие шаги: найти производную, определить критические точки, входящие в заданный отрезок, и сравнить значения функции в этих точках и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции. Область определения функции: $x > 0$.
$f'(x) = (x - 2\ln x)' = 1 - 2 \cdot \frac{1}{x} = 1 - \frac{2}{x}$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю.
$f'(x) = 0 \implies 1 - \frac{2}{x} = 0$
$1 = \frac{2}{x}$
$x = 2$.

3. Проверим, принадлежит ли критическая точка $x=2$ отрезку $[\frac{3}{2}; e]$.
Поскольку $\frac{3}{2} = 1.5$ и $e \approx 2.718$, точка $x=2$ находится внутри данного отрезка.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=2$ и на концах отрезка $x=\frac{3}{2}$ и $x=e$.
- В точке $x = 2$: $f(2) = 2 - 2\ln 2$.
- На левом конце отрезка $x = \frac{3}{2}$: $f(\frac{3}{2}) = \frac{3}{2} - 2\ln(\frac{3}{2})$.
- На правом конце отрезка $x = e$: $f(e) = e - 2\ln e = e - 2 \cdot 1 = e - 2$.

5. Сравним полученные значения.
Знак производной $f'(x) = \frac{x-2}{x}$ зависит от знака числителя $x-2$.
- На интервале $(\frac{3}{2}, 2)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.
- На интервале $(2, e)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.
Это означает, что в точке $x=2$ функция достигает своего минимума на отрезке. Таким образом, наименьшее значение функции равно $f(2) = 2 - 2\ln 2$.
Наибольшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка. Сравним $f(\frac{3}{2})$ и $f(e)$.
$f(\frac{3}{2}) \approx 1.5 - 2 \cdot 0.405 = 1.5 - 0.81 = 0.69$.
$f(e) \approx 2.718 - 2 = 0.718$.
Так как $0.718 > 0.69$, наибольшее значение функции достигается в точке $x=e$ и равно $e-2$.

Ответ: наибольшее значение $e - 2$, наименьшее значение $2 - 2\ln 2$.

---

2)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x + e^{-x}$ на отрезке $[-1; 2]$ применим тот же алгоритм.

1. Найдем производную функции.
$f'(x) = (x + e^{-x})' = 1 + e^{-x} \cdot (-1) = 1 - e^{-x}$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x)=0$.
$1 - e^{-x} = 0 \implies e^{-x} = 1$
Так как $e^0 = 1$, то $-x=0$, откуда $x=0$.

3. Проверим, принадлежит ли критическая точка $x=0$ отрезку $[-1; 2]$.
Да, точка $x=0$ принадлежит этому отрезку.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=0$ и на концах отрезка $x=-1$ и $x=2$.
- В точке $x = 0$: $f(0) = 0 + e^{-0} = 0 + 1 = 1$.
- На левом конце отрезка $x = -1$: $f(-1) = -1 + e^{-(-1)} = -1 + e = e - 1$.
- На правом конце отрезка $x = 2$: $f(2) = 2 + e^{-2}$.

5. Сравним полученные значения.
- $f(0) = 1$
- $f(-1) = e - 1 \approx 2.718 - 1 = 1.718$
- $f(2) = 2 + e^{-2} = 2 + \frac{1}{e^2} \approx 2 + \frac{1}{7.389} \approx 2 + 0.135 = 2.135$
Сравнивая эти три числа ($1$, $1.718$, $2.135$), видим, что наименьшее из них - это $1$, а наибольшее - $2+e^{-2}$.
(Также можно было исследовать знак производной: при $x<0$, $f'(x)<0$ (убывает), при $x>0$, $f'(x)>0$ (возрастает), значит $x=0$ - точка минимума).

Ответ: наибольшее значение $2 + e^{-2}$, наименьшее значение $1$.