Номер 284, страница 119 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 3. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 284, страница 119.

Условие.

284. Найти наибольшее значение функции:

1) $x^5 - 5x^4 + 5x^3 + 1$ на отрезке $[-1; 2];$

2) $1 - x^4 - x^6$ на интервале $(-3; 3);$

3) $\frac{2}{x} - x^2$ на промежутке $x < 0;$

4) $\frac{x}{4} + \frac{4}{x}$ на промежутке $x < 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения наибольшего значения функции $f(x) = x^5 - 5x^4 + 5x^3 + 1$ на отрезке $[-1; 2]$, необходимо найти ее производную, приравнять к нулю для определения критических точек, а затем сравнить значения функции в этих точках (если они принадлежат отрезку) и на концах отрезка.

Шаг 1: Находим производную функции.

$f'(x) = (x^5 - 5x^4 + 5x^3 + 1)' = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2$.

Шаг 2: Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$.

$5x^4 - 20x^3 + 15x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $5x^2$ за скобки:

$5x^2(x^2 - 4x + 3) = 0$

Разложим квадратный трехчлен на множители:

$5x^2(x - 1)(x - 3) = 0$

Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = 3$.

Шаг 3: Проверяем, какие из критических точек принадлежат отрезку $[-1; 2]$.

Точки $x=0$ и $x=1$ принадлежат отрезку $[-1; 2]$. Точка $x=3$ не принадлежит этому отрезку.

Шаг 4: Вычисляем значения функции в отобранных критических точках и на концах отрезка.

• $f(-1) = (-1)^5 - 5(-1)^4 + 5(-1)^3 + 1 = -1 - 5(1) + 5(-1) + 1 = -1 - 5 - 5 + 1 = -10$
• $f(0) = 0^5 - 5 \cdot 0^4 + 5 \cdot 0^3 + 1 = 1$
• $f(1) = 1^5 - 5 \cdot 1^4 + 5 \cdot 1^3 + 1 = 1 - 5 + 5 + 1 = 2$
• $f(2) = 2^5 - 5 \cdot 2^4 + 5 \cdot 2^3 + 1 = 32 - 5 \cdot 16 + 5 \cdot 8 + 1 = 32 - 80 + 40 + 1 = -7$

Шаг 5: Сравниваем полученные значения: $-10, 1, 2, -7$.

Наибольшее из этих значений равно 2.

Ответ: 2.

2) Для нахождения наибольшего значения функции $f(x) = 1 - x^4 - x^6$ на интервале $(-3; 3)$, найдем ее производную и исследуем на экстремумы.

Шаг 1: Находим производную.

$f'(x) = (1 - x^4 - x^6)' = -4x^3 - 6x^5$.

Шаг 2: Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$.

$-4x^3 - 6x^5 = 0$

$-2x^3(2 + 3x^2) = 0$

Выражение $2 + 3x^2$ всегда положительно при любом действительном $x$. Следовательно, единственная критическая точка получается из уравнения $-2x^3 = 0$, что дает $x=0$. Эта точка принадлежит интервалу $(-3; 3)$.

Шаг 3: Исследуем знак производной.

При $x < 0$, $x^3 < 0$, поэтому $f'(x) = -2x^3(2 + 3x^2) > 0$. Функция возрастает.

При $x > 0$, $x^3 > 0$, поэтому $f'(x) = -2x^3(2 + 3x^2) < 0$. Функция убывает.

Поскольку при переходе через точку $x=0$ производная меняет знак с «+» на «−», эта точка является точкой максимума. Так как это единственная критическая точка, то в ней функция достигает своего наибольшего значения.

Шаг 4: Вычисляем значение функции в точке максимума.

$f(0) = 1 - 0^4 - 0^6 = 1$.

Ответ: 1.

3) Для нахождения наибольшего значения функции $f(x) = \frac{2}{x} - x^2$ на промежутке $x < 0$, найдем ее производную и исследуем на экстремумы.

Шаг 1: Находим производную.

$f'(x) = (\frac{2}{x} - x^2)' = (2x^{-1} - x^2)' = -2x^{-2} - 2x = -\frac{2}{x^2} - 2x$.

Шаг 2: Находим критические точки на промежутке $x < 0$, решив уравнение $f'(x) = 0$.

$-\frac{2}{x^2} - 2x = 0$

$-\frac{2}{x^2} = 2x$

$-2 = 2x^3$

$x^3 = -1$

$x = -1$.

Эта точка принадлежит заданному промежутку $x < 0$.

Шаг 3: Исследуем знак производной. $f'(x) = \frac{-2-2x^3}{x^2}$. Знаменатель $x^2$ всегда положителен.

При $x < -1$ (например, $x=-2$), числитель $-2-2(-2)^3 = -2+16 = 14 > 0$. Значит, $f'(x) > 0$ и функция возрастает.

При $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$), числитель $-2-2(-0.5)^3 = -2+0.25 = -1.75 < 0$. Значит, $f'(x) < 0$ и функция убывает.

Следовательно, в точке $x=-1$ функция достигает максимума, который является наибольшим значением на промежутке $x < 0$.

Шаг 4: Вычисляем значение функции в этой точке.

$f(-1) = \frac{2}{-1} - (-1)^2 = -2 - 1 = -3$.

Ответ: -3.

4) Для нахождения наибольшего значения функции $f(x) = \frac{x}{4} + \frac{4}{x}$ на промежутке $x < 0$, найдем ее производную и исследуем на экстремумы.

Шаг 1: Находим производную.

$f'(x) = (\frac{x}{4} + \frac{4}{x})' = \frac{1}{4} - \frac{4}{x^2}$.

Шаг 2: Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$.

$\frac{1}{4} - \frac{4}{x^2} = 0$

$\frac{1}{4} = \frac{4}{x^2}$

$x^2 = 16$

$x = \pm 4$.

Заданному промежутку $x < 0$ принадлежит только точка $x = -4$.

Шаг 3: Исследуем знак производной. $f'(x) = \frac{x^2-16}{4x^2}$. Знаменатель $4x^2$ всегда положителен.

При $x < -4$ (например, $x=-5$), числитель $(-5)^2-16 = 25-16 = 9 > 0$. Значит, $f'(x) > 0$ и функция возрастает.

При $-4 < x < 0$ (например, $x=-2$), числитель $(-2)^2-16 = 4-16 = -12 < 0$. Значит, $f'(x) < 0$ и функция убывает.

Следовательно, в точке $x=-4$ функция достигает максимума, который является наибольшим значением на промежутке $x < 0$.

Шаг 4: Вычисляем значение функции в этой точке.

$f(-4) = \frac{-4}{4} + \frac{4}{-4} = -1 - 1 = -2$.

Ответ: -2.