Номер 278, страница 115 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 2. Экстремумы функции - номер 278, страница 115.

Условие.

278. 1) $y = x + \sqrt{3-x}$;

2) $y = (x - 1)^{6/7}$;

3) $y = x - \sin 2x$;

4) $y = \cos 3x - 4x$;

5) $y = (x - 1)^4$;

6) $y = 1 - (x + 1)^6$;

7) $y = (x + 2)^2(x - 3)^3$;

8) $y = (x - 5)e^x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для исследования функции на монотонность и экстремумы необходимо найти ее производную, приравнять ее к нулю, чтобы найти критические точки, а затем определить знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения функции.

1) $y = x + \sqrt{3-x}$

1. Область определения функции.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $3-x \ge 0$, откуда $x \le 3$.
$D(y) = (-\infty; 3]$.

2. Находим производную.
$y' = (x + \sqrt{3-x})' = 1 + \frac{1}{2\sqrt{3-x}} \cdot (3-x)' = 1 - \frac{1}{2\sqrt{3-x}}$.

3. Находим критические точки.
Производная не определена при $x=3$.
Приравняем производную к нулю: $y' = 0$.
$1 - \frac{1}{2\sqrt{3-x}} = 0 \implies 1 = \frac{1}{2\sqrt{3-x}} \implies 2\sqrt{3-x} = 1 \implies \sqrt{3-x} = \frac{1}{2}$.
Возводим обе части в квадрат: $3-x = \frac{1}{4} \implies x = 3 - \frac{1}{4} = \frac{11}{4} = 2.75$.
Критические точки: $x = 2.75$ и $x = 3$.

4. Определяем знаки производной.
Исследуем знак $y'$ на интервалах $(-\infty; 2.75)$ и $(2.75; 3)$.
- При $x < 2.75$ (например, $x = -1$): $y'(-1) = 1 - \frac{1}{2\sqrt{3-(-1)}} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} > 0$. Функция возрастает.
- При $2.75 < x < 3$ (например, $x=2.99$): $y'(2.99) = 1 - \frac{1}{2\sqrt{3-2.99}} = 1 - \frac{1}{0.2} = -4 < 0$. Функция убывает.

5. Находим экстремумы.
В точке $x = 2.75$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума.
$x_{max} = 2.75$.
$y_{max} = 2.75 + \sqrt{3-2.75} = 2.75 + \sqrt{0.25} = 2.75 + 0.5 = 3.25$.

Ответ: функция возрастает на $(-\infty; 2.75]$ и убывает на $[2.75; 3]$. Точка максимума $x_{max} = 2.75$, $y_{max} = 3.25$.

2) $y = (x-1)^{\frac{6}{7}}$

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; \infty)$.

2. Производная: $y' = \frac{6}{7}(x-1)^{\frac{6}{7}-1} = \frac{6}{7}(x-1)^{-\frac{1}{7}} = \frac{6}{7\sqrt[7]{x-1}}$.

3. Критические точки:
Производная не равна нулю ни при каком значении $x$.
Производная не определена при $x-1=0$, то есть $x=1$. Это критическая точка.

4. Знаки производной:
- При $x < 1$: $x-1 < 0 \implies \sqrt[7]{x-1} < 0 \implies y' < 0$. Функция убывает.
- При $x > 1$: $x-1 > 0 \implies \sqrt[7]{x-1} > 0 \implies y' > 0$. Функция возрастает.

5. Экстремумы:
В точке $x=1$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума.
$x_{min} = 1$.
$y_{min} = (1-1)^{6/7} = 0$.

Ответ: функция убывает на $(-\infty; 1]$ и возрастает на $[1; \infty)$. Точка минимума $x_{min} = 1$, $y_{min} = 0$.

3) $y=x-\sin 2x$

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; \infty)$.

2. Производная: $y' = (x-\sin 2x)' = 1 - 2\cos 2x$.

3. Критические точки:
$1 - 2\cos 2x = 0 \implies \cos 2x = \frac{1}{2}$.
$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4. Знаки производной:
$y' > 0 \implies 1 - 2\cos 2x > 0 \implies \cos 2x < \frac{1}{2}$. Это выполняется при $\frac{\pi}{3} + 2\pi k < 2x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, то есть $\frac{\pi}{6} + \pi k < x < \frac{5\pi}{6} + \pi k$. На этих интервалах функция возрастает.
$y' < 0 \implies \cos 2x > \frac{1}{2}$. Это выполняется при $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < 2x < \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, то есть $-\frac{\pi}{6} + \pi k < x < \frac{\pi}{6} + \pi k$. На этих интервалах функция убывает.

5. Экстремумы:
- Точки минимума: $x_{min} = \frac{\pi}{6} + \pi k$. Производная меняет знак с «-» на «+».
$y_{min} = (\frac{\pi}{6} + \pi k) - \sin(2(\frac{\pi}{6} + \pi k)) = \frac{\pi}{6} + \pi k - \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{6} + \pi k - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
- Точки максимума: $x_{max} = \frac{5\pi}{6} + \pi k$ (или $x_{max} = -\frac{\pi}{6} + \pi(k+1)$). Производная меняет знак с «+» на «-».
$y_{max} = (\frac{5\pi}{6} + \pi k) - \sin(2(\frac{5\pi}{6} + \pi k)) = \frac{5\pi}{6} + \pi k - \sin(\frac{5\pi}{3}) = \frac{5\pi}{6} + \pi k + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: функция возрастает на интервалах $[\frac{\pi}{6}+\pi k; \frac{5\pi}{6}+\pi k]$ и убывает на интервалах $[-\frac{\pi}{6}+\pi k; \frac{\pi}{6}+\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$. Точки минимума $x_{min} = \frac{\pi}{6} + \pi k$, точки максимума $x_{max} = \frac{5\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

4) $y = \cos 3x - 4x$

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; \infty)$.

2. Производная: $y' = (\cos 3x - 4x)' = -3\sin 3x - 4$.

3. Критические точки:
$-3\sin 3x - 4 = 0 \implies \sin 3x = -\frac{4}{3}$.
Так как $-1 \le \sin 3x \le 1$, то уравнение $\sin 3x = -4/3$ не имеет решений. Критических точек нет.

4. Знаки производной:
Оценим значение производной: $-1 \le \sin 3x \le 1 \implies -3 \le 3\sin 3x \le 3 \implies -3 \le -3\sin 3x \le 3$.
$-3-4 \le -3\sin 3x - 4 \le 3-4 \implies -7 \le y' \le -1$.
Производная всегда отрицательна, $y' < 0$ для всех $x$.

5. Экстремумы:
Так как производная не меняет знак, экстремумов нет. Функция монотонно убывает.

Ответ: функция убывает на всей области определения $(-\infty; \infty)$, экстремумов нет.

5) $y = (x-1)^4$

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; \infty)$.

2. Производная: $y' = 4(x-1)^3$.

3. Критические точки: $4(x-1)^3 = 0 \implies x = 1$.

4. Знаки производной:
- При $x < 1$: $x-1 < 0 \implies (x-1)^3 < 0 \implies y' < 0$. Функция убывает.
- При $x > 1$: $x-1 > 0 \implies (x-1)^3 > 0 \implies y' > 0$. Функция возрастает.

5. Экстремумы:
В точке $x=1$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума.
$x_{min} = 1$.
$y_{min} = (1-1)^4 = 0$.

Ответ: функция убывает на $(-\infty; 1]$ и возрастает на $[1; \infty)$. Точка минимума $x_{min} = 1$, $y_{min} = 0$.

6) $y=1-(x+1)^6$

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; \infty)$.

2. Производная: $y' = -6(x+1)^5$.

3. Критические точки: $-6(x+1)^5 = 0 \implies x = -1$.

4. Знаки производной:
- При $x < -1$: $x+1 < 0 \implies (x+1)^5 < 0 \implies y' > 0$. Функция возрастает.
- При $x > -1$: $x+1 > 0 \implies (x+1)^5 > 0 \implies y' < 0$. Функция убывает.

5. Экстремумы:
В точке $x=-1$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума.
$x_{max} = -1$.
$y_{max} = 1 - (-1+1)^6 = 1$.

Ответ: функция возрастает на $(-\infty; -1]$ и убывает на $[-1; \infty)$. Точка максимума $x_{max} = -1$, $y_{max} = 1$.

7) $y = (x+2)^2(x-3)^3$

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; \infty)$.

2. Производная (по правилу произведения):
$y' = 2(x+2)(x-3)^3 + (x+2)^2 \cdot 3(x-3)^2$
$y' = (x+2)(x-3)^2 [2(x-3) + 3(x+2)]$
$y' = (x+2)(x-3)^2 [2x - 6 + 3x + 6] = 5x(x+2)(x-3)^2$.

3. Критические точки: $5x(x+2)(x-3)^2 = 0 \implies x=0, x=-2, x=3$.

4. Знаки производной:
Множитель $(x-3)^2$ всегда неотрицателен и не влияет на знак производной (кроме точки $x=3$). Знак $y'$ определяется знаком выражения $5x(x+2)$.
- При $x < -2$: $y' > 0$. Функция возрастает.
- При $-2 < x < 0$: $y' < 0$. Функция убывает.
- При $0 < x < 3$: $y' > 0$. Функция возрастает.
- При $x > 3$: $y' > 0$. Функция возрастает.

5. Экстремумы:
- В точке $x=-2$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума.
$x_{max}=-2$, $y_{max} = (-2+2)^2(-2-3)^3 = 0$.
- В точке $x=0$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума.
$x_{min}=0$, $y_{min} = (0+2)^2(0-3)^3 = 4(-27) = -108$.
- В точке $x=3$ знак производной не меняется, экстремума нет.

Ответ: функция возрастает на $(-\infty; -2]$ и на $[0; \infty)$; убывает на $[-2; 0]$. Точка максимума $x_{max}=-2$, $y_{max}=0$; точка минимума $x_{min}=0$, $y_{min}=-108$.

8) $y=(x-5)e^x$

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; \infty)$.

2. Производная (по правилу произведения):
$y' = (x-5)'e^x + (x-5)(e^x)' = 1 \cdot e^x + (x-5)e^x = e^x(1 + x - 5) = (x-4)e^x$.

3. Критические точки:
$(x-4)e^x = 0$. Так как $e^x > 0$ для всех $x$, то $x-4=0 \implies x=4$.

4. Знаки производной:
Знак $y'$ совпадает со знаком множителя $(x-4)$.
- При $x < 4$: $x-4 < 0 \implies y' < 0$. Функция убывает.
- При $x > 4$: $x-4 > 0 \implies y' > 0$. Функция возрастает.

5. Экстремумы:
В точке $x=4$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума.
$x_{min}=4$.
$y_{min} = (4-5)e^4 = -e^4$.

Ответ: функция убывает на $(-\infty; 4]$ и возрастает на $[4; \infty)$. Точка минимума $x_{min} = 4$, $y_{min} = -e^4$.