Номер 277, страница 115 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 2. Экстремумы функции - номер 277, страница 115.

Условие.

Найти точки экстремума функции (277-278).

277. 1) $y = 2x^2 - 20x + 1;$

2) $y = 3x^2 + 36x - 1;$

3) $y = \frac{x}{5} + \frac{5}{x};$

4) $y = \frac{4}{x} + \frac{x}{16};$

5) $y = x^3 - 4x^2;$

6) $y = x^4 - 8x^2 + 5;$

7) $y = x + \sin x;$

8) $y = 6\sin x - \cos 2x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дана функция $y = 2x^2 - 20x + 1$.
Это квадратичная функция, её график — парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше нуля). Следовательно, функция имеет одну точку минимума.
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
2. Найдём производную функции:
$y' = (2x^2 - 20x + 1)' = 4x - 20$.
3. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:
$y' = 0 \implies 4x - 20 = 0 \implies 4x = 20 \implies x = 5$.
4. Исследуем знак производной. При $x < 5$ производная $y' < 0$ (функция убывает), а при $x > 5$ производная $y' > 0$ (функция возрастает).
Следовательно, при переходе через точку $x=5$ знак производной меняется с «−» на «+». Значит, $x=5$ — точка минимума.
Ответ: $x_{\min} = 5$.

2) Дана функция $y = 3x^2 + 36x - 1$.
Это также квадратичная функция, график — парабола с ветвями вверх ($a=3>0$), поэтому она имеет одну точку минимума.
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
2. Найдём производную функции:
$y' = (3x^2 + 36x - 1)' = 6x + 36$.
3. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:
$y' = 0 \implies 6x + 36 = 0 \implies 6x = -36 \implies x = -6$.
4. При $x < -6$ производная $y' < 0$ (функция убывает), при $x > -6$ производная $y' > 0$ (функция возрастает).
Знак производной меняется с «−» на «+» в точке $x=-6$. Следовательно, $x=-6$ — точка минимума.
Ответ: $x_{\min} = -6$.

3) Дана функция $y = \frac{x}{5} + \frac{5}{x}$.
1. Область определения функции: $x \neq 0$, то есть $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.
2. Найдём производную функции:
$y' = (\frac{x}{5} + 5x^{-1})' = \frac{1}{5} - 5x^{-2} = \frac{1}{5} - \frac{5}{x^2}$.
3. Найдём критические точки. Производная не определена при $x=0$, но эта точка не входит в область определения. Приравняем производную к нулю:
$\frac{1}{5} - \frac{5}{x^2} = 0 \implies \frac{1}{5} = \frac{5}{x^2} \implies x^2 = 25 \implies x_1 = -5, x_2 = 5$.
4. Исследуем знак производной $y' = \frac{x^2-25}{5x^2}$ на интервалах. Знак зависит от числителя $x^2-25$.
- При $x \in (-\infty, -5)$, $y' > 0$ (функция возрастает).
- При $x \in (-5, 0)$, $y' < 0$ (функция убывает).
- При $x \in (0, 5)$, $y' < 0$ (функция убывает).
- При $x \in (5, +\infty)$, $y' > 0$ (функция возрастает).
5. В точке $x=-5$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума. В точке $x=5$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
Ответ: $x_{\max} = -5$, $x_{\min} = 5$.

4) Дана функция $y = \frac{4}{x} + \frac{x}{16}$.
1. Область определения функции: $x \neq 0$, то есть $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.
2. Найдём производную функции:
$y' = (4x^{-1} + \frac{x}{16})' = -4x^{-2} + \frac{1}{16} = -\frac{4}{x^2} + \frac{1}{16}$.
3. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:
$-\frac{4}{x^2} + \frac{1}{16} = 0 \implies \frac{1}{16} = \frac{4}{x^2} \implies x^2 = 64 \implies x_1 = -8, x_2 = 8$.
4. Исследуем знак производной $y' = \frac{x^2-64}{16x^2}$. Знак зависит от числителя $x^2-64$.
- При $x \in (-\infty, -8)$, $y' > 0$ (функция возрастает).
- При $x \in (-8, 0)$, $y' < 0$ (функция убывает).
- При $x \in (0, 8)$, $y' < 0$ (функция убывает).
- При $x \in (8, +\infty)$, $y' > 0$ (функция возрастает).
5. В точке $x=-8$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка максимума. В точке $x=8$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка минимума.
Ответ: $x_{\max} = -8$, $x_{\min} = 8$.

5) Дана функция $y = x^3 - 4x^2$.
1. Область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
2. Найдём производную:
$y' = (x^3 - 4x^2)' = 3x^2 - 8x$.
3. Найдём критические точки:
$3x^2 - 8x = 0 \implies x(3x - 8) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = \frac{8}{3}$.
4. Исследуем знак производной $y' = x(3x-8)$. График $y'(x)$ — парабола с ветвями вверх, пересекающая ось абсцисс в точках 0 и $8/3$.
- При $x < 0$, $y' > 0$ (функция возрастает).
- При $0 < x < \frac{8}{3}$, $y' < 0$ (функция убывает).
- При $x > \frac{8}{3}$, $y' > 0$ (функция возрастает).
5. В точке $x=0$ знак производной меняется с «+» на «−», это точка максимума. В точке $x=\frac{8}{3}$ знак меняется с «−» на «+», это точка минимума.
Ответ: $x_{\max} = 0$, $x_{\min} = \frac{8}{3}$.

6) Дана функция $y = x^4 - 8x^2 + 5$.
1. Область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
2. Найдём производную:
$y' = (x^4 - 8x^2 + 5)' = 4x^3 - 16x$.
3. Найдём критические точки:
$4x^3 - 16x = 0 \implies 4x(x^2 - 4) = 0 \implies 4x(x-2)(x+2) = 0$.
Критические точки: $x_1 = -2, x_2 = 0, x_3 = 2$.
4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$, $(2, +\infty)$.
- При $x \in (-\infty, -2)$, $y' < 0$ (убывает).
- При $x \in (-2, 0)$, $y' > 0$ (возрастает).
- При $x \in (0, 2)$, $y' < 0$ (убывает).
- При $x \in (2, +\infty)$, $y' > 0$ (возрастает).
5. В точке $x=-2$ знак производной меняется с «−» на «+» (минимум). В точке $x=0$ знак меняется с «+» на «−» (максимум). В точке $x=2$ знак меняется с «−» на «+» (минимум).
Ответ: $x_{\min} = -2$, $x_{\max} = 0$, $x_{\min} = 2$.

7) Дана функция $y = x + \sin x$.
1. Область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
2. Найдём производную:
$y' = (x + \sin x)' = 1 + \cos x$.
3. Найдём критические точки:
$1 + \cos x = 0 \implies \cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
4. Исследуем знак производной. Поскольку $-1 \le \cos x \le 1$, то $0 \le 1 + \cos x \le 2$. Это означает, что производная $y' \ge 0$ для всех $x$.
Производная нигде не меняет знак, она всегда неотрицательна. Функция является неубывающей на всей числовой оси.
Следовательно, у функции нет точек экстремума.
Ответ: точек экстремума нет.

8) Дана функция $y = 6\sin x - \cos 2x$.
1. Область определения — все действительные числа. Функция периодическая с периодом $2\pi$.
2. Найдём производную:
$y' = (6\sin x - \cos 2x)' = 6\cos x - (-\sin 2x \cdot 2) = 6\cos x + 2\sin 2x$.
Применим формулу синуса двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.
$y' = 6\cos x + 4\sin x \cos x = 2\cos x(3 + 2\sin x)$.
3. Найдём критические точки:
$2\cos x(3 + 2\sin x) = 0$.
a) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
b) $3 + 2\sin x = 0 \implies \sin x = -\frac{3}{2}$. Решений нет, так как $|\sin x| \le 1$.
4. Исследуем знак производной. Множитель $(3 + 2\sin x)$ всегда положителен, так как $3 + 2(-1) = 1 > 0$. Значит, знак $y'$ совпадает со знаком $\cos x$.
- В точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $\cos x$ меняет знак с «+» на «−». Следовательно, это точки максимума.
- В точках $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ (или $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$), $\cos x$ меняет знак с «−» на «+». Следовательно, это точки минимума.
Ответ: $x_{\max} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $x_{\min} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.