Номер 270, страница 109 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 1. Возрастание и убывание функции - номер 270, страница 109.

Условие.

270. 1) $y = \frac{x^3}{x^2+3};$

2) $y = (x-1)^3(2x+3)^2;$

3) $y = (x-1)e^{3x};$

4) $y = xe^{-3x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения производной функции $y = \frac{x^3}{x^2 + 3}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного (формулой частного): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
В нашем случае, пусть $u(x) = x^3$ и $v(x) = x^2 + 3$.
Найдем производные этих функций:
$u'(x) = (x^3)' = 3x^2$
$v'(x) = (x^2 + 3)' = 2x$
Теперь подставим найденные значения в формулу производной частного:
$y' = \frac{(3x^2)(x^2 + 3) - (x^3)(2x)}{(x^2 + 3)^2}$
Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:
$y' = \frac{3x^4 + 9x^2 - 2x^4}{(x^2 + 3)^2} = \frac{x^4 + 9x^2}{(x^2 + 3)^2}$
Вынесем общий множитель $x^2$ в числителе для окончательного вида:
$y' = \frac{x^2(x^2 + 9)}{(x^2 + 3)^2}$
Ответ: $y' = \frac{x^2(x^2 + 9)}{(x^2 + 3)^2}$.

2) Для нахождения производной функции $y = (x - 1)^3(2x + 3)^2$ используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = (x - 1)^3$ и $v(x) = (2x + 3)^2$.
Найдем производные этих функций, применяя правило дифференцирования сложной функции:
$u'(x) = ((x - 1)^3)' = 3(x-1)^2 \cdot (x-1)' = 3(x-1)^2 \cdot 1 = 3(x-1)^2$
$v'(x) = ((2x + 3)^2)' = 2(2x+3) \cdot (2x+3)' = 2(2x+3) \cdot 2 = 4(2x+3)$
Применим правило произведения:
$y' = u'v + uv' = 3(x-1)^2(2x+3)^2 + (x-1)^3 \cdot 4(2x+3)$
Для упрощения выражения вынесем за скобки общие множители $(x-1)^2$ и $(2x+3)$:
$y' = (x-1)^2(2x+3) [3(2x+3) + 4(x-1)]$
Упростим выражение в квадратных скобках:
$y' = (x-1)^2(2x+3) [6x + 9 + 4x - 4] = (x-1)^2(2x+3)(10x + 5)$
Из последней скобки можно вынести множитель 5:
$y' = (x-1)^2(2x+3) \cdot 5(2x+1) = 5(x-1)^2(2x+1)(2x+3)$
Ответ: $y' = 5(x-1)^2(2x+1)(2x+3)$.

3) Для нахождения производной функции $y = (x - 1)e^{3x}$ используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x - 1$ и $v(x) = e^{3x}$.
Найдем их производные:
$u'(x) = (x-1)' = 1$
$v'(x) = (e^{3x})' = e^{3x} \cdot (3x)' = 3e^{3x}$
Подставляем в формулу производной произведения:
$y' = u'v + uv' = 1 \cdot e^{3x} + (x - 1) \cdot 3e^{3x}$
Вынесем общий множитель $e^{3x}$ за скобки и упростим:
$y' = e^{3x}(1 + 3(x-1)) = e^{3x}(1 + 3x - 3) = e^{3x}(3x - 2)$
Ответ: $y' = (3x - 2)e^{3x}$.

4) Для нахождения производной функции $y = xe^{-3x}$ используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = e^{-3x}$.
Найдем их производные:
$u'(x) = (x)' = 1$
$v'(x) = (e^{-3x})' = e^{-3x} \cdot (-3x)' = -3e^{-3x}$
Подставляем в формулу производной произведения:
$y' = u'v + uv' = 1 \cdot e^{-3x} + x \cdot (-3e^{-3x}) = e^{-3x} - 3xe^{-3x}$
Вынесем общий множитель $e^{-3x}$ за скобки:
$y' = e^{-3x}(1 - 3x)$
Ответ: $y' = (1 - 3x)e^{-3x}$.