Номер 268, страница 109 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 1. Возрастание и убывание функции - номер 268, страница 109.

Условие.

268. 1) $y = x^2 - 3x + 4$;

2) $y = 2x - x^2$;

3) $y = x^3 - 3x$;

4) $y = x^4 - 2x^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = x^2 - 3x + 4$

Для исследования функции на монотонность и экстремумы найдем ее производную, приравняем ее к нулю для нахождения критических точек и определим знаки производной на полученных интервалах.

1. Находим производную функции:

$y' = (x^2 - 3x + 4)' = 2x - 3$.

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}$.

3. Определяем знаки производной на интервалах, на которые числовая ось делится критической точкой $x = \frac{3}{2}$:

На интервале $(-\infty; \frac{3}{2})$ возьмем пробную точку $x=0$. $y'(0) = 2(0) - 3 = -3 < 0$. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, \frac{3}{2}]$.

На интервале $(\frac{3}{2}; +\infty)$ возьмем пробную точку $x=2$. $y'(2) = 2(2) - 3 = 1 > 0$. Следовательно, функция возрастает на промежутке $[\frac{3}{2}, +\infty)$.

4. В точке $x = \frac{3}{2}$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума. Найдем значение функции в этой точке:

$y_{min} = y(\frac{3}{2}) = (\frac{3}{2})^2 - 3 \cdot \frac{3}{2} + 4 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 4 = \frac{9 - 18 + 16}{4} = \frac{7}{4}$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[\frac{3}{2}, +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty, \frac{3}{2}]$; точка минимума $x_{min} = \frac{3}{2}$, $y_{min} = \frac{7}{4}$.

2) $y = 2x - x^2$

Проведем исследование функции по аналогии с предыдущим пунктом.

1. Находим производную функции:

$y' = (2x - x^2)' = 2 - 2x$.

2. Находим критические точки из уравнения $y' = 0$:

$2 - 2x = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1$.

3. Определяем знаки производной на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$:

На интервале $(-\infty; 1)$ возьмем точку $x=0$. $y'(0) = 2 - 2(0) = 2 > 0$. Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$.

На интервале $(1; +\infty)$ возьмем точку $x=2$. $y'(2) = 2 - 2(2) = -2 < 0$. Следовательно, функция убывает на промежутке $[1, +\infty)$.

4. В точке $x = 1$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка максимума. Найдем значение функции в этой точке:

$y_{max} = y(1) = 2(1) - 1^2 = 2 - 1 = 1$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$, убывает на промежутке $[1, +\infty)$; точка максимума $x_{max} = 1$, $y_{max} = 1$.

3) $y = x^3 - 3x$

1. Находим производную функции:

$y' = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$.

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$3x^2 - 3 = 0 \implies 3(x^2 - 1) = 0 \implies 3(x-1)(x+1) = 0$.

Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

3. Определяем знаки производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$:

На интервале $(-\infty; -1)$ (например, $x=-2$): $y'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 9 > 0$. Функция возрастает на $(-\infty, -1]$.

На интервале $(-1; 1)$ (например, $x=0$): $y'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0$. Функция убывает на $[-1, 1]$.

На интервале $(1; +\infty)$ (например, $x=2$): $y'(2) = 3(2)^2 - 3 = 9 > 0$. Функция возрастает на $[1, +\infty)$.

4. В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «–», это точка максимума. $y_{max} = y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с «–» на «+», это точка минимума. $y_{min} = y(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$, убывает на промежутке $[-1, 1]$; точка максимума $x_{max} = -1$, $y_{max} = 2$; точка минимума $x_{min} = 1$, $y_{min} = -2$.

4) $y = x^4 - 2x^2$

1. Находим производную функции:

$y' = (x^4 - 2x^2)' = 4x^3 - 4x$.

2. Находим критические точки из уравнения $y' = 0$:

$4x^3 - 4x = 0 \implies 4x(x^2 - 1) = 0 \implies 4x(x-1)(x+1) = 0$.

Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

3. Определяем знаки производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$:

На $(-\infty; -1)$ (например, $x=-2$): $y'(-2) = 4(-8) - 4(-2) = -24 < 0$. Функция убывает на $(-\infty, -1]$.

На $(-1; 0)$ (например, $x=-0.5$): $y'(-0.5) = 4(-0.125) - 4(-0.5) = -0.5 + 2 = 1.5 > 0$. Функция возрастает на $[-1, 0]$.

На $(0; 1)$ (например, $x=0.5$): $y'(0.5) = 4(0.125) - 4(0.5) = 0.5 - 2 = -1.5 < 0$. Функция убывает на $[0, 1]$.

На $(1; +\infty)$ (например, $x=2$): $y'(2) = 4(8) - 4(2) = 24 > 0$. Функция возрастает на $[1, +\infty)$.

4. В точке $x = -1$ производная меняет знак с «–» на «+», это точка минимума. $y_{min} = y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 = 1 - 2 = -1$.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «–», это точка максимума. $y_{max} = y(0) = 0^4 - 2(0)^2 = 0$.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с «–» на «+», это точка минимума. $y_{min} = y(1) = 1^4 - 2(1)^2 = 1 - 2 = -1$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1, 0]$ и $[1, +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[0, 1]$; точка максимума $x_{max} = 0$, $y_{max} = 0$; точки минимума $x_{min} = \pm 1$, $y_{min} = -1$.